《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

21. 已知$AB// CD$，$AM$平分$∠BAP$。
(1)如图1，当点$P$，$M$在$CD$上时，写出$∠APC$与$∠AMC$的数量关系，并说明理由；$\angle APC = 2\angle AMC$
(2)如图2，当点$P$在$AB$，$CD$之间，且在$AC$连线右侧，点$M$仍在$CD$上时，请直接写出$∠P$，$∠C$，$∠AMC$间的数量关系(不用说明理由)；$\angle P+\angle C-2\angle AMC = 180^{\circ}$
(3)如图3，当点$P$，$M$都在$CD$下方，且点$P$在$CM$上时，探索$∠APC$，$∠C$，$∠AMC$间的数量关系，并说明理由。$\angle APC = 2\angle AMC-\angle C$

答案： 【解析】：
(1)
因为$AB// CD$，所以$\angle BAP=\angle APC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AM$平分$\angle BAP$，所以$\angle BAP = 2\angle BAM$。
而$\angle APC=\angle BAP$，$\angle AMC=\angle BAM$（两直线平行，内错角相等），所以$\angle APC = 2\angle AMC$。
(2)
过点$P$作$PE// AB$，因为$AB// CD$，所以$PE// CD$。
则$\angle BAP+\angle APE = 180^{\circ}$，$\angle EPC+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle BAP+\angle APC+\angle C=360^{\circ}$。
又因为$AM$平分$\angle BAP$，设$\angle BAM=\angle MAP = x$，则$\angle BAP = 2x$。
$\angle AMC=x$（两直线平行，内错角相等），所以$\angle P+\angle C-2\angle AMC = 180^{\circ}$。
(3)
因为$AB// CD$，所以$\angle BAP=\angle APE$（两直线平行，内错角相等），$\angle BAM=\angle AMC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AM$平分$\angle BAP$，所以$\angle BAP = 2\angle BAM$，即$\angle APE=2\angle AMC$。
而$\angle APC=\angle APE-\angle C$，所以$\angle APC = 2\angle AMC-\angle C$。
【答案】：
(1)$\angle APC = 2\angle AMC$；
(2)$\angle P+\angle C-2\angle AMC = 180^{\circ}$；
(3)$\angle APC = 2\angle AMC-\angle C$。

算蜜蜂
公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下$\frac {1}{5}$，在乙花上落下$\frac {1}{3}$。如果剩下的蜜蜂又有一部分落在花上，且数量是之前落在甲、乙两种花上数量差的3倍，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞着。算一算：这里聚集了多少只蜜蜂？

答案： 解：设这里聚集了$x$只蜜蜂。
落在甲花上的蜜蜂数量为$\frac{1}{5}x$，落在乙花上的蜜蜂数量为$\frac{1}{3}x$。
甲、乙两种花上蜜蜂数量差为$\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x=\frac{5x - 3x}{15}=\frac{2x}{15}$。
落在花上的蜜蜂数量为$\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}x + 3\times(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x)$
$=\frac{3x + 5x}{15}+3\times\frac{2x}{15}$
$=\frac{8x}{15}+\frac{6x}{15}$
$=\frac{14x}{15}$。
剩下的蜜蜂数量为$x-\frac{14x}{15}$，已知剩下$1$只蜜蜂，所以$x-\frac{14x}{15}=1$，即$\frac{15x - 14x}{15}=1$，$\frac{x}{15}=1$，解得$x = 15$。
答：这里聚集了$15$只蜜蜂。