《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

19. (1)比较大小:
$\sqrt {1}$＜$\sqrt {2}$;$\sqrt {2}$＜$\sqrt {3}$.
(2)由以上可知:
①$|1-\sqrt {2}|=$$\sqrt{2}-1$;
②$|\sqrt {2}-\sqrt {3}|=$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(3)计算:
$|1-\sqrt {2}|+|\sqrt {2}-\sqrt {3}|+|\sqrt {3}-\sqrt {4}|+... +|\sqrt {2009}-\sqrt {2010}|$$\sqrt{2010}-1$(结果保留根号).

答案： 【解析】：
1. 首先比较$\sqrt{1}$与$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$的大小：
对于二次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$（$a\geq0$，$b\geq0$），当$a ＜ b$时，$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$。
因为$1 ＜ 2$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}$；因为$2 ＜ 3$，所以$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$。
2. 然后根据绝对值的性质求$\vert1 - \sqrt{2}\vert$和$\vert\sqrt{2}-\sqrt{3}\vert$的值：
绝对值的性质：$\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\-x(x ＜ 0)\end{cases}$。
因为$1-\sqrt{2}＜0$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=-(1 - \sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
因为$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，所以$\vert\sqrt{2}-\sqrt{3}\vert=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
3. 最后计算$\vert1 - \sqrt{2}\vert+\vert\sqrt{2}-\sqrt{3}\vert+\vert\sqrt{3}-\sqrt{4}\vert+\cdots+\vert\sqrt{2009}-\sqrt{2010}\vert$的值：
由前面的规律可知$\vert\sqrt{n}-\sqrt{n + 1}\vert=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）。
则原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2010}-\sqrt{2009})$。
去括号得：$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2010}-\sqrt{2009}$。
通过观察可以发现，从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，最后剩下$\sqrt{2010}-1$。
【答案】：
(1)$＜$；$＜$；
(2)①$\sqrt{2}-1$；②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
(3)$\sqrt{2010}-1$

20. 王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为$2m-6$,它的平方根为$\pm (m-2)$,求这个数.小张的解法如下:
解:依题意,可知$2m-6$是$m-2,-(m-2)$两数中的一个. ①
当$2m-6=m-2$时,解得$m=4$. ②
所以这个数为$2m-6=2×4-6=2$. ③
当$2m-6=-(m-2)$时,解得$m=\frac {8}{3}$. ④
所以这个数为$2m-6=2×\frac {8}{3}-6=-\frac {2}{3}$. ⑤
综上所述,这个数为 2 或$-\frac {2}{3}$. ⑥
王老师看后说,小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗? 为什么? 请改正.
小张错在第⑤步，因为算术平方根一定是非负的，当$m = \frac{8}{3}$时，$2m - 6 = -\frac{2}{3}\lt0$，不符合算术平方根的定义，应舍去。正确答案是这个数为4。

答案： 【解析】：本题可根据算术平方根的非负性来判断小张的错误之处，再根据正确的思路求解这个数。
- **步骤一：分析小张的错误**
算术平方根一定是非负的，即一个数的算术平方根大于等于$0$。
在小张的解法中，当$m = 4$时，$2m - 6 = 2\times4 - 6 = 2\gt0$，此时$2m - 6$作为算术平方根是合理的；
当$m = \frac{8}{3}$时，$2m - 6 = 2\times\frac{8}{3} - 6 = -\frac{2}{3}\lt0$，因为算术平方根不能为负数，所以$m = \frac{8}{3}$这个结果不符合题意，应舍去。
- **步骤二：求出这个数**
由上述分析可知，$m = 4$是符合题意的，此时这个数的算术平方根为$2m - 6 = 2\times4 - 6 = 2$。
根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，所以这个数为$2^2 = 4$。
【答案】：小张错在第⑤步，因为算术平方根一定是非负的，当$m = \frac{8}{3}$时，$2m - 6 = -\frac{2}{3}\lt0$，不符合算术平方根的定义，应舍去。正确答案是这个数为$4$。