《2025年暑假Happy假日七年级数学人教版》

11. 如图，$AB// CD$，$AB⊥AE$，$∠CAE=42^{\circ }$，则$∠ACD=$$132^{\circ}$。

答案： $132^{\circ}$

12. 如图，$AB// CD$，$∠DCE=118^{\circ }$，$∠AEC$的平分线$EF$与$GF$相交于点$F$，$∠BGF=132^{\circ }$，则$∠F$的度数是$17^{\circ}$。

答案： $17^{\circ}$

13. 如图，$AB// CD$，$∠D=80^{\circ }$，$∠CAD:∠BAC=3:2$，则$∠CAD=$$60^{\circ}$，$∠ACD=$$40^{\circ}$。

答案： $60^{\circ}$，$40^{\circ}$

14. 如图，$AD// BC$，$∠1=78^{\circ }$，$∠2=40^{\circ }$，则$∠ADC=$$118^{\circ}$。

答案： $118^{\circ}$

15. 如图，已知$AB// EF$，$∠ABC=75^{\circ }$，$∠CDF=135^{\circ }$，则$∠C=$$30^{\circ}$。

答案： $30^{\circ}$

16. 如图，$AB// CD$，分别探讨下面四个图形中$∠APC$与$∠PAB$，$∠PCD$的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明。

图（1）：$\angle APC=\angle PAB + \angle PCD$；
图（2）：$\angle APC = 360^{\circ}-\angle PAB - \angle PCD$；
图（3）：$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$；
图（4）：$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$。

答案： 【解析】：
- 图（1）：过$P$作$PE// AB$，因为$AB// CD$，所以$PE// CD$。根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle PAB = \angle APE$，$\angle PCD = \angle CPE$，所以$\angle APC=\angle PAB + \angle PCD$。
- 图（2）：过$P$作$PF// AB$，因为$AB// CD$，所以$PF// CD$。根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle PAB+\angle APF = 180^{\circ}$，$\angle PCD+\angle CPF = 180^{\circ}$，所以$\angle PAB+\angle PCD+\angle APC = 360^{\circ}$，即$\angle APC = 360^{\circ}-\angle PAB - \angle PCD$。
- 图（3）：延长$BA$交$PC$于$E$，因为$AB// CD$，所以$\angle PEB=\angle PCD$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle PEB$是$\triangle APE$的外角，所以$\angle PEB=\angle PAB+\angle APC$，即$\angle PCD=\angle PAB+\angle APC$，所以$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$。
- 图（4）：设$AB$与$PC$相交于$F$，因为$AB// CD$，所以$\angle PFC=\angle PCD$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle PFC$是$\triangle APF$的外角，所以$\angle PFC=\angle PAB+\angle APC$，即$\angle PCD=\angle PAB+\angle APC$，所以$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$。
若选图（1）说明：
过$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore \angle PAB=\angle APE$，$\angle PCD=\angle CPE$（两直线平行，内错角相等），
$\because \angle APC=\angle APE+\angle CPE$，
$\therefore \angle APC=\angle PAB + \angle PCD$。
【答案】：
图（1）：$\angle APC=\angle PAB + \angle PCD$；
图（2）：$\angle APC = 360^{\circ}-\angle PAB - \angle PCD$；
图（3）：$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$；
图（4）：$\angle APC=\angle PCD - \angle PAB$。（任选其一即可，此处以图（1）为例）