《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

7.如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于$\odot O$,则$\widehat {PC}$的度数为24°.

答案： 24°

8.如图,$\odot O$与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则$∠AOC$的度数为144°.

答案： 144°

9.(2024·南京模拟)如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN,连接OD,ON,则$∠DON=$105$^{\circ }$.

答案： 105

10.如图,正方形ABCD内接于$\odot O$,P为$\widehat {BC}$上一点,连接DP,CP.
(1)$∠CPD= $____;
(2)若$DC= 4,CP= 2\sqrt {2}$,求DP的长.

答案：

(1) $45^{\circ}$
(2) 解: 如答图, 作 $ CH \perp DP $ 于点 $ H $.$ \because CP = 2\sqrt{2}, \angle CPD = 45^{\circ}, \therefore CH = PH = 2 $.$ \because DC = 4, \therefore DH = \sqrt{CD^{2} - CH^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3} $,$ \therefore DP = PH + DH = 2 + 2\sqrt{3} $.

11.如图,正六边形ABCDEF为$\odot O$的内接正六边形.
(1)若$\odot O$的半径为4cm,求正六边形ABCDEF的周长和面积;
(2)点G在$\widehat {CD}$上,CG恰好是$\odot O$内接正十边形的一边,DG恰好是$\odot O$内接正n边形的一边,求n的值.

答案：

(1) 解: 连接 $ OC, OD $, 如答图.$ \because $ 六边形 $ ABCDEF $ 是圆内接正六边形,$ \therefore \angle COD = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} $.$ \because OC = OD, \therefore \triangle COD $ 是正三角形,$ \therefore CD = OC = OD = 4 \text{ cm} $,$ \therefore $ 正六边形 $ ABCDEF $ 的周长为 $ 4 × 6 = 24(\text{cm}) $.$ \because S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} × 4 = 4\sqrt{3}(\text{cm}^{2}) $,$ \therefore S_{\text{正六边形}ABCDEF} = 6S_{\triangle COD} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^{2} $.即正六边形 $ ABCDEF $ 的周长为 $ 24 \text{ cm} $, 面积为 $ 24\sqrt{3} \text{ cm}^{2} $.
(2) 连接 $ OG $, 如答图.$ \because CG $ 是 $ \odot O $ 内接正十边形的一边, $ \therefore \angle COG = \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ} $,$ \therefore \angle DOG = \angle COD - \angle COG = 60^{\circ} - 36^{\circ} = 24^{\circ} $.$ \because DG $ 是 $ \odot O $ 内接正 $ n $ 边形的一边, $ \therefore \frac{360^{\circ}}{n} = 24^{\circ} $,解得 $ n = 15 $.

12.(2023·鼓楼区二模)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接矩形,点E,F分别在射线AB,AD上,$OE= OF$,且点C,E,F在一条直线上,EF与$\odot O$相切于点C.
(1)求证:矩形ABCD是正方形;
(2)若$OF= 10$,则正方形ABCD的面积是____.

答案：

(1) 证明: 如答图, 连接 $ AC $,$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接矩形, $ \therefore AC $ 是 $ \odot O $ 的直径.$ \because EF $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ C, \therefore AC \perp EF $.$ \because OE = OF, \therefore CF = CE, \angle FOC = \angle EOC $,$ \therefore \angle AOF = \angle AOE $.$ \because OA = OA, \therefore \triangle AOF \cong \triangle AOE(\text{SAS}), \therefore AF = AE $.$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形, $ \therefore \angle FAE = 90^{\circ} $,$ \therefore AC = \frac{1}{2}EF = CF = CE, \therefore \angle CAE = 45^{\circ} $.$ \because \angle ABC = 90^{\circ}, \therefore \angle ACB = 45^{\circ} $,$ \therefore AB = CB, \therefore $ 矩形 $ ABCD $ 是正方形.
(2) 40