《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

11. 已知方程$x^{2}-6x+q= 0$配方后变形为$(x-p)^{2}= 7$,那么方程$x^{2}+6x+q= 0$配方后变形为$(x+p)^{2}=7$.

答案： $(x+p)^{2}=7$

12. 若$(2x+3y)^{2}+2(2x+3y)-4= 0$,则$2x+3y$的值为$-1\pm \sqrt{5}$.

答案： $-1\pm \sqrt{5}$

13. 新考法 (2024·无锡期末)已知方程$x^{2}-4096576= 0的两根为x_{1}= 2024,x_{2}= -2024$,则方程$x^{2}-2x-4096575= 0$的两根为$x_{1}=2025,x_{2}=-2023$.

答案： $x_{1}=2025,x_{2}=-2023$

14. 已知直角三角形的三边长为$a,b,c$,且两直角边长$a,b满足等式(a^{2}+b^{2})^{2}-2(a^{2}+b^{2})-15= 0$,则斜边长$c$的值为$\sqrt{5}$.

答案： $\sqrt{5}$

15. 用配方法解下列方程:
(1)$(x-1)(x-3)= 8$;
(2)$(2x-1)^{2}= x(3x+2)-7$;
(3)$x^{2}-\frac {1}{3}x-\frac {1}{4}= 0$;
(4)$x^{2}-6x= 2(x-6)$.

答案： 解:
(1)原方程变形为$x^{2}-4x+3=8,$
即$x^{2}-4x=5,$
配方,得$x^{2}-4x+4=9$,即$(x-2)^{2}=9,$
则$x-2=\pm 3$,解得$x_{1}=5,x_{2}=-1.$
(2)原方程变形为$x^{2}-6x=-8$,配方,得$(x-3)^{2}=1,$
即$x-3=\pm 1$,解得$x_{1}=2,x_{2}=4.$
(3)移项,得$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{1}{4},$
配方,得$x^{2}-\frac{1}{3}x+(\frac{1}{6})^{2}=\frac{1}{4}+(\frac{1}{6})^{2},$
即$(x-\frac{1}{6})^{2}=\frac{5}{18}$,则$x-\frac{1}{6}=\pm \frac{\sqrt{10}}{6},$
解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{10}}{6},x_{2}=\frac{1-\sqrt{10}}{6}.$
(4)原方程变形为$x^{2}-8x=-12$,配方,得$(x-4)^{2}=4,$
则$x-4=\pm 2$,解得$x_{1}=2,x_{2}=6.$

16. 已知关于$x的方程(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4= 0$.
(1)试说明:无论$a$取何实数,这个方程都是一元二次方程;
(2)当$a= 2$时,解这个方程.

答案： 解:
(1)$a^{2}-4a+5=(a^{2}-4a+4)+1=(a-2)^{2}+1,$
$\because (a-2)^{2}\geqslant 0,\therefore (a-2)^{2}+1＞0,$
$\therefore$无论$a$取何实数,关于$x$的方程$(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4=0$都是一元二次方程.
(2)当$a=2$时,原方程为$x^{2}+4x+4=0,$
解得$x_{1}=x_{2}=-2.$

17. (2024·泗洪县期中)根据完全平方公式$(a\pm b)^{2}= a^{2}\pm 2ab+b^{2}$,把形如$ax^{2}+bx+c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做“配方法”. 例如把$x^{2}-2x+9$配方如下:$x^{2}-2x+9= x^{2}-2x+1+8= (x-1)^{2}+8$. 请解答下列问题:
(1)把多项式$x^{2}-4x+1$配方的结果为$(x-2)^{2}-3$;
(2)当$x$的值为多少时,代数式$x^{2}+6x+6$的值最小?
解:$x^{2}+6x+6=x^{2}+6x+9-3=(x+3)^{2}-3.$
$\because$无论$x$取何值时,都有$(x+3)^{2}\geqslant 0,$
$\therefore$当$x=-3$时,$(x+3)^{2}$取最小值0,
$\therefore$当$x=-3$时,代数式$x^{2}+6x+6$的值最小.
(3)用一根长为$12$米的绳子围成一个长方形,请问长方形的边长分别为多少米时,围成的长方形面积最大? 最大面积是多少平方米?
解:设长方形的一边长为$x$米,则与其相邻的另一边长为$(6-x)$米,面积为$y$平方米,根据题意,得
$y=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x^{2}-6x+9-9)=-(x-3)^{2}+9,$
$\therefore$当$x=3$时,$y$取最大值为9,此时$6-x=3,$
$\therefore$当该长方形的相邻两边长均为3米时,围成的长方形面积最大,最大面积是9平方米.

答案：
(1)$(x-2)^{2}-3$
(2)解:$x^{2}+6x+6=x^{2}+6x+9-3=(x+3)^{2}-3.$
$\because$无论$x$取何值时,都有$(x+3)^{2}\geqslant 0,$
$\therefore$当$x=-3$时,$(x+3)^{2}$取最小值0,
$\therefore$当$x=-3$时,代数式$x^{2}+6x+6$的值最小.
(3)解:设长方形的一边长为$x$米,则与其相邻的另一边长为$(6-x)$米,面积为$y$平方米,根据题意,得
$y=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x^{2}-6x+9-9)=-(x-3)^{2}+9,$
$\therefore$当$x=3$时,$y$取最大值为9,此时$6-x=3,$
$\therefore$当该长方形的相邻两边长均为3米时,围成的长方形面积最大,最大面积是9平方米.