《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

7. 如图,$\odot O$的半径是8,$AB是\odot O$的直径,$M为AB$上一动点,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{BD}$,则$CM + DM$的最小值为16.

答案： 16

8. 已知$\odot O$的直径为10,弦$AB = 6$,$P是弦AB$上一动点,则$OP$的取值范围是$4 \leqslant OP \leqslant 5$.

答案： $4 \leqslant OP \leqslant 5$

9. (2024·赣榆区期中)如图,$P是\odot O$内一定点.
(1)过点$P作弦AB$,使$P是AB$的中点.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$\odot O$的半径为13,$OP = 5$,
①求过点$P的弦的长度m$的取值范围；
②过点$P$的弦中,长度为整数的弦有______条.

答案：

(1)解:如答图，连接 $OP$ 并延长，过点 $P$ 作 $AB \perp OP$，则弦 $AB$ 即为所求。
　　　　　　　　
(2)①解:过点 $P$ 的所有弦中，直径最长，为 26。与 $OP$ 垂直的弦最短，连接 $OA$，如答图。$\because OP \perp AB$，$\therefore AP = BP = \sqrt {OA ^ { 2 } - OP ^ { 2 }} = \sqrt {13 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 }} = 12$，$\therefore AB = 2AP = 24$，$\therefore$ 过点 $P$ 的弦的长度 $m$ 的取值范围为 $24 \leqslant m \leqslant 26$。
②4

10. (2024·淮安区期中)如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度$AB$为24m,拱顶高出水面8m(即$CD = 8m$),$OC\perp AB$.
(1)求该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽10m,船舱顶部为长方形,且高出水面7.5m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座桥吗？

答案：
解:
(1)连接 $OA$，如答图。
　　　　　　　
$\because AB = 24m$，$OC \perp AB$，$\therefore AD = \frac {1} {2}AB = 12m$。设 $OA = OC = rm$，$\because CD = 8m$，$\therefore OD = (r - 8)m$。在 $Rt\triangle AOD$ 中，根据勾股定理，得 $AD ^ { 2 } + OD ^ { 2 } = OA ^ { 2 }$，即 $12 ^ { 2 } + (r - 8) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$，解得 $r = 13$。答:该圆弧形拱桥所在圆的半径为 $13m$。
(2) $\because r = 13m$，$CD = 8m$，$\therefore OD = OC - CD = 5m$。如答图，连接 $OM$，当 $EF = MN = 10m$ 时，$\because OC \perp AB$，$\therefore OC \perp MN$，$\therefore MH = \frac {1} {2}MN = 5m$。根据勾股定理，得 $OH = \sqrt {OM ^ { 2 } - MH ^ { 2 }} = \sqrt {13 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 }} = 12 (m)$，$\therefore DH = OH - OD = 12 - 5 = 7 (m)$。$\because 7 ＜ 7.5$，$\therefore$ 此货船不能顺利通过这座桥。