《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

7. 已知直角三角形的外接圆半径为6,内切圆半径为2,那么这个三角形的面积是28.

答案： 28

8. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点$A$,$B$,$C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6)$,$(-3,3)$,$(7,-2)$,则$\triangle ABC$内心的坐标为______(2,3).

答案： (2,3)

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,点$M$,$N分别是\triangle ABC$的内心和外心,则$MN = $$\sqrt{5}$.

答案： $\sqrt{5}$

10. 从如图所示的三角形木板$ABC$上截下一块圆形的木板.
(1)怎样才能使圆的面积尽可能大? (不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若$\triangle ABC的三边长分别为AB = 4$,$BC = 5$,$AC = 6$,求$\triangle ABC$的面积;
(3)在(1),(2)的基础上,求最大圆形木板的半径.

答案：
解:
(1)如答图①,作△ABC的内切圆⊙O.

(2)如答图②,过点A作AM⊥BC于点M,设BM=x，则CM=5−x.
由勾股定理,得$AB^2 - BM^2 = AM^2$，$AC^2 - CM^2 = AM^2$，故$4^2 - x^2 = 6^2 - (5 - x)^2$，整理,得10x=5,
解得$x = \frac{1}{2}$，$AM = \sqrt{4^2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AM = \frac{1}{2} × 5 × \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$。
(3)如答图①，设⊙O的半径为r，
∵$S_{△ABC} = S_{△OAB} + S_{△OBC} + S_{△OAC} = \frac{AB \cdot r}{2} + \frac{BC \cdot r}{2} + \frac{AC \cdot r}{2} = \frac{15r}{2}$，
∴$\frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{15r}{2}$，
解得$r = \frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴最大圆形木板的半径为$\frac{\sqrt{7}}{2}$。

11. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$BC为\odot O$的直径,点$E为\triangle ABC$的内心,连接$AE并延长交\odot O于点D$,连接$BD并延长至点F$,使得$DF = BD$,连接$CF$. 求证:直线$CF为\odot O$的切线.

答案：
证明:如答图，连接CD.
∵点E为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴BD=CD.
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠DBC=∠DCB，∠F=∠DCF，
∴2∠DBC+2∠F=180°，
∴∠DBC+∠F=90°，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线.

12. 某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具. 如图是腰长为4的等腰直角三角形纸片$ABC$,要求剪出的半圆的直径在$\triangle ABC$的边上,且半圆的弧与$\triangle ABC$的其他两边相切,请作出所有不同方案的示意图,并求出相应半圆的半径. (结果保留根号)

答案：
解:如答图①②③，从每张纸片中剪出的半圆的圆心为点O.根据勾股定理，得
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$
如答图①，当直径在直角边BC上时.
∵半圆的弧与△ABC的其他两边相切，
$S_{△AOB} + S_{△ACO} = S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2} × 4\sqrt{2}r_1 + \frac{1}{2} × 4r_1 = \frac{1}{2} × 4 × 4$，
解得$r_1 = 4\sqrt{2} - 4$。
如答图②,同理可求得$r_2 = 4\sqrt{2} - 4$。
如答图③，当直径在斜边AB上时，
∵半圆的弧与△ABC的其他两边相切，
$S_{△AOC} + S_{△BOC} = S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2} × 4r_3 + \frac{1}{2} × 4r_3 = \frac{1}{2} × 4 × 4$，
解得$r_3 = 2$。