《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

4. 如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D. OC,OD的延长线分别交大圆于点E,F. 求证:⌢{AE}= ⌢{BF}.

答案：
4.证明:如答图，连接OA,OB.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC;
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OCD=∠OAC+∠AOC,
∠ODC=∠OBD+∠BOD,
∴∠AOC=∠BOD,
即∠AOE=∠BOF,
∴$\overset{\frown}{AE}$=$\overset{\frown}{BF}$.

5. (2024·江宁区模拟)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.
(1)求证:BD= DE;
(2)若AB= 10,AC= 6,求BE的长.

答案：
5.
(1)证明:
∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.
∵∠CAD=∠CBD,
∴∠BAD=∠CBD,
∴∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠BAD+∠ABE=∠DEB,
∴BD=DE.
(2)解:连接OD交BC于点F,如答图.

∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴$\overset{\frown}{BD}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴OD⊥BC,
∴∠DFB=90°,BF=CF.
∵OA=OB,
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3.
∵AB=10,
∴OA=OB=OD=5,
∴DF=OD−OF=2.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°,
由勾股定理,得BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8,
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4.
在Rt△DFB中,由勾股定理，得BD=$\sqrt{BF^{2}+DF^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{5}$
由
(1)知DE=BD=2$\sqrt{5}$,
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°,
由勾股定理,得BE=$\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}$=2$\sqrt{10}$

6. 如图,半圆O的直径AB= 10 cm,弦AC= 6 cm,将半圆沿着过点A的直线折叠,折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上,则折痕AD的长为4$\sqrt{5}$cm.

答案： 6.4$\sqrt{5}$

7. 已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,BD相交于点E.
(1)如图①,若AC= BD,求证:AE= DE;
(2)如图②,若AC⊥BD,连接OC,求证:∠OCD= ∠ACB.

答案：
7.证明:
(1)
∵AC=BD,
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BD}$,
即$\overset{\frown}{AB}$+$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$+$\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ADB=∠CAD,
∴AE=DE.
(2)延长CO交$\odot O$于点F,连接DF,如答图.
∵AC⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴∠ADE+∠CAD=90°.
∵∠ACB=∠ADE,∠F=∠CAD,
∴∠ACB+∠F=90°.
∵CF为直径，
∴∠CDF=90°,
∴∠F+∠FCD=90°,
∴∠FCD=∠ACB,即∠OCD=∠ACB.