《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

2.(2024·鼓楼区模拟)根据素材解决问题.
| | 设计货船通过圆形拱桥的方案 |
| 素材1 | 有一座圆拱石桥,图①是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB= 16 m,拱顶离水面的距离CD= 4 m. | |
| 素材2 | 如图②,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EH= 12 m,EF= 2.1 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,货船的载重量每增加1 t,船身下降0.01 m. | |
| 问题解决 | |
| 任务1 | 确定桥拱半径 | (1)求圆形桥拱的半径； |
| 任务2 | 拟定设计方案 | (2)根据图③中船的状态,货船能否通过圆形桥拱? 若能,最多还能卸载多少吨货物? 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过? |

答案：
2.解:
(1)设桥拱圆心为点$O$，则点$O$在$CD$的延长线上，延长$CD$到点$O$，连接$AO$，如答图①。
　　　　　　　
　设桥拱的半径为$r m$，则$OD = (r - 4)m$。
　$\because OC⊥AB$，
　$\therefore AD = BD=\frac{1}{2}AB = 8m$。
　$\because$在$Rt△AOD$中，$OD^{2}+AD^{2}=OA^{2}$，
　$\therefore (r - 4)^{2}+8^{2}=r^{2}$，
　解得$r = 10$，
　$\therefore$圆形桥拱的半径为$10m$。
(2)根据题图③中船的状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加$10t$货物才能通过。理由如下:
　当$EH$是$\odot O$的弦时，$EH$与$OC$的交点为$M$，连接$OE$，$OH$，如答图②。
　$\because$四边形$EFGH$为矩形，$\therefore EH// FG$。
　$\because OC⊥AB$，$\therefore OM⊥EH$，
　$\therefore EM=\frac{1}{2}EH = 6m$，
　$\therefore OM=\sqrt{OE^{2}-EM^{2}} = 8m$。
　$\because OD = OC - CD = 6m$，
　$\therefore DM = OM - OD = 2m＜2.1m$，
　$\therefore$根据题图③中船的状态，货船不能通过圆形桥拱。
　$\because$货船的载重量每增加$1t$，船身下降$0.01m$，
　$\therefore (2.1 - 2)÷0.01 = 10(t)$，
　$\therefore$至少要增加$10t$货物才能通过。