《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

7. (2024·海陵区月考)如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O与AB$,$BC分别相切于D$,$E$两点,连接$DE$,$AO的延长线交DE于点F$,若$\angle ACB = 70^{\circ}$,则$\angle AFD$的大小是______35°.

答案： 35°

8. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O与BC$,$CA$,$AB分别相切于点D$,$E$,$F$,若$AB = 9\mathrm{cm}$,$BC = 14\mathrm{cm}$,$CA = 13\mathrm{cm}$,则$AF$的长为4$\mathrm{cm}$.

答案： 4

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8$,$BC = 5$,$AC = 7$,$\odot O与AB$的延长线,$BC$,$AC$的延长线相切,切点分别为$D$,$E$,$F$,则点$A到圆心O$的距离为______4$\sqrt{7}$.

答案： 4$\sqrt{7}$

10. 如图,$P为\odot O$外一点,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$A$,$B$为切点,点$C在\odot O$上,连接$OA$,$OC$,$AC$.
(1)求证：$\angle AOC = 2\angle PAC$；
(2)连接$OB$,若$AC// OB$,$\odot O的半径为5$,$AC = 6$,求$AP$的长.

答案：
(1)证明:如答图，过点O作OH⊥AC于点H,
∴∠OHA=90°,
∴∠AOH+∠OAC=90°.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°,
∴∠OAC+∠PAC=90°,
∴∠AOH=∠PAC;
∵OA=OC,
∴∠AOC=2∠AOH,
∴∠AOC=2∠PAC.
(2)解:如答图，连接OB，延长AC交PB于点E,
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴OB⊥PB,PA=PB.
∵AC//OB,
∴AC⊥PB,又∠OHC=90°,
∴四边形OBEH是矩形,
∴OH=BE,HE=OB=5.
∵OH⊥AC,OA=OC,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3,
∴OH=$\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}$=4,
∴BE=OH=4,AE=AH+HE=8.
∵AP²=AE²+PE²,
∴AP²=8²+(AP - 4)²,解得AP=10.

11. 如图,$AB$,$BC$,$CD分别与\odot O相切于点E$,$F$,$G$,且$AB// CD$,$BO = 6$,$CO = 8$.
(1)判断$\triangle OBC$的形状,并说明理由；
(2)求$BC$的长；
(3)求$OF$的长.

答案： 解:
(1)△OBC是直角三角形.理由如下:
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠EBF,∠OCG=∠OCF=$\frac{1}{2}$∠GCF;
∵AB//CD,
∴∠EBF+∠GCF=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=180°−(∠OBF+∠OCF)=90°,
∴△OBC是直角三角形.
(2)
∵在Rt△BOC中,BO=6,CO=8,
∴BC=$\sqrt{BO^{2}+CO^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+8^{2}}$=10.
(3)
∵BC与⊙O相切于点F,
∴OF⊥BC,
∴$\frac{1}{2}$OF·BC=$\frac{1}{2}$BO·CO,
∴OF=$\frac{BO·CO}{BC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8.