《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

9.(10分)(2024·淮阴区期末)已知:$∠O及其一边上的两点A,B$.
求作:$\odot P$,使圆心$P到A,B$两点的距离相等,且与$∠O$的两条边相切.

答案：
解:作法:如答图,①作线段AB的垂直平分线MN与∠O的平分线OC相交于点P,AB的垂直平分线交AB于点D;②以点P为圆心,PD的长为半径画圆,⊙P就是要求作的圆.

10.(12分)如图,矩形$ABCD内接于\odot O$,过点$A作\odot O$的切线,分别与$CD的延长线交于点E$,与$CB的延长线交于点F$,连接$BD$.求证:$∠F= ∠CDB$.

答案：
证明:连接AC,如答图所示.
∵四边形ABCD为⊙O的内接矩形,
∴AC为⊙O的直径,∠ABC=∠ADC=90°.
∵EF为⊙O的切线,
∴AC⊥EF,
∴∠CAB+∠BAF=90°.又
∵∠ABC=90°,
∴∠CAB+∠ACB=90°,
∴∠BAF=∠ACB.
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠BAF=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAF+∠F=90°,∠ADB+∠CDB=90°,
∴∠F=∠CDB.

11.(14分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5,BC= 6$,$D为BC$的中点,点$P在射线AD$上,$\odot P与直线AB$相切,切点为$E$.
(1)求证:$\odot P与直线AC$相切;
(2)当$\odot P是\triangle ABC$的内切圆时,求$\odot P$的半径.

答案：

(1)证明:如答图,连接PE,过点P作PF⊥AC,垂足为F.
∵⊙P与直线AB相切,切点为E,
∴PE⊥AB.在△ABC中,AB=AC,
∵D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PE=PF,
∴⊙P与直线AC相切.
(2)解:连接BP,CP,如答图.设⊙P的半径为r,则$\frac{AB\cdot r}{2}+\frac{AC\cdot r}{2}+\frac{BC\cdot r}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}$.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=$\frac{1}{2}$BC=3.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,
∴$\frac{5r}{2}+\frac{5r}{2}+\frac{6r}{2}=\frac{6×4}{2}$,
∴r=1.5,即⊙P的半径为1.5.

12.(16分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AB为直径的\odot O与BC相交于点D$,过点$D作DE⊥AC$,垂足为$E$.
(1)求证:$DE是\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为5,$BC= 16$,求$DE$的长.

答案：

(1)证明:连接OD,如答图.
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD//AC.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
(2)解:连接AD,如答图.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
∵⊙O的半径为5,BC=16,
∴AC=AB=10,CD=8,
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$.
∵$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}AD\cdot CD$,
∴DE=$\frac{AD\cdot CD}{AC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$.