《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

1. (2024·北京)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x+c = 0 $ 有两个相等的实数根,则实数 $ c $ 的值为 (C)
A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

答案： C

2. (2024·广安若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围是 (A)
A.$ m \lt 0 $ 且 $ m \neq -1 $
B.$ m \geqslant 0 $
C.$ m \leqslant 0 $ 且 $ m \neq -1 $
D.$ m \lt 0 $

答案： A

3. 等腰三角形的三边长分别为 $ a,b,2 $,且 $ a,b $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + n + 2 = 0 $ 的两个根,则 $ n $ 的值为 (D)
A.$6$
B.$6$ 或 $7$
C.$7$ 或 $8$
D.$7$

答案： D

4. (2024·灌云县二模)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + m = 0 $ 没有实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是$ m ＞ 1 $.

答案： $ m ＞ 1 $

5. (2024·涟水县期中)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^{2}+x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ k $ 的最大整数值是0.

答案： 0

6. 试给出一组 $ a,b $ 的值,使得关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根,并求出此时方程的根.

答案： 解：$\because$ 方程 $ ax^{2} + bx + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，
$\therefore b^{2} - 4a = 0$。
$ a, b $ 取值不唯一，可取 $ b = 2, a = 1 $，则原方程为 $ x^{2} + 2x + 1 = 0 $，即 $ (x + 1)^{2} = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = -1 $。

7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + k = 0 $ 有实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围;
(2) 如果 $ k $ 是符合条件的最大整数,且关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0 $ 与 $ x^{2}-3x + k = 0 $ 有一个相同的根,求此时 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4k \geq 0 $，
解得 $ k \leq \frac{9}{4} $。
(2) 由
(1)知 $ k $ 的最大整数值为 2，
方程为 $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $，解得 $ x_{1} = 1, x_{2} = 2 $。
$\because$ 一元二次方程 $ (m - 1)x^{2} + x + m - 3 = 0 $ 与方程 $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $ 有一个相同的根，
$\therefore$ 当这个相同的根为 $ x = 1 $ 时，$ m - 1 + 1 + m - 3 = 0 $，
解得 $ m = \frac{3}{2} $；
当这个相同的根为 $ x = 2 $ 时，$ 4(m - 1) + 2 + m - 3 = 0 $，
解得 $ m = 1 $，而由 $ (m - 1)x^{2} + x + m - 3 = 0 $ 是一元二次方程，得 $ m - 1 \neq 0 $，故舍去。
$\therefore m $ 的值为 $ \frac{3}{2} $。

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2mx + m^{2}+m - 2 = 0 $ 有两个实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若 $ m $ 为正整数,且方程的根都是负整数,求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1) 由题意，得 $ b^{2} - 4ac = (2m)^{2} - 4(m^{2} + m - 2) \geq 0 $，
解得 $ m \leq 2 $。
(2) $\because m \leq 2 $，且 $ m $ 为正整数，$\therefore m = 1 $ 或 $ m = 2 $。
当 $ m = 1 $ 时，原方程可化为 $ x^{2} + 2x = 0 $，解得 $ x_{1} = -2 $，$ x_{2} = 0 $，不符合题意；
当 $ m = 2 $ 时，原方程可化为 $ x^{2} + 4x + 4 = 0 $，
解得 $ x_{1} = x_{2} = -2 $，符合题意。
综上所述，$ m $ 的值为 2。