《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

10.在$\triangle ABC$中,$BC = 2$,$AB = 2\sqrt{3}$,$AC = b$,且关于x的方程$x^{2}-4x + b = 0$有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为2.

答案： 2

11.已知关于x的方程$4x^{2}+4mx + 7m = 0$有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)若m满足方程$y^{2}-(m - 2)y + 4 = 0$,试判断方程$y^{2}-(m - 2)y + 4 = 0$的根的情况.

答案： 解:
(1)
∵关于x的方程4x² + 4mx + 7m = 0有两个相等的实数根,
∴b² - 4ac = (4m)² - 4×4×7m = 0, 即16m² - 16×7m = 0, 解得m = 0或m = 7. 故m的值为0或7.
(2)
∵m满足方程y² - (m - 2)y + 4 = 0,
∴当m = 0时, 方程为y² + 2y + 4 = 0, b² - 4ac = 2² - 4×1×4 = - 12 ＜ 0, 此时方程y² - (m - 2)y + 4 = 0无实数根; 当m = 7时, 方程为y² - 5y + 4 = 0, b² - 4ac = (- 5)² - 4×1×4 = 9 ＞ 0, 此时方程y² - (m - 2)y + 4 = 0有两个不相等的实数根.

12.已知关于x的方程$mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$.
(1)求证:不论m为何值,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?

答案：
(1) 证明: 当m = 0时, 方程为 - 2x + 2 = 0, 显然方程有实数根. 当m ≠ 0时, b² - 4ac = (m + 2)² - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)².
∵不论m为何值, (m - 2)² ≥ 0恒成立,
∴b² - 4ac ≥ 0,
∴方程总有实数根. 故不论m为何值, 方程总有实数根.
(2) 解: 解方程, 得x = (m + 2 ± (m - 2))/(2m),
∴x₁ = 2/m, x₂ = 1.
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m = 1.

13.新定义如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$所对的边分别为a,b,c.将形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$的一元二次方程称为“直系一元二次方程”.
(1)以下方程为“直系一元二次方程”的是______.(填序号)
①$3x^{2}+4\sqrt{2}x + 5 = 0$;②$5x^{2}+13\sqrt{2}x + 12 = 0$.
②(2)若$x = - 1$是“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$的一个根,且$\triangle ABC的周长为2\sqrt{2}+2$,求c的值.
解: ∵x = - 1是方程的一个根, ∴a - √2c + b = 0, ∴a + b = √2c. ∵△ABC的周长为2√2 + 2, ∴a + b + c = 2√2 + 2, ∴√2c + c = 2√2 + 2, ∴c = 2.(3)求证:关于x的“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$必有实数根.
证明: (√2c)² - 4ab = 2c² - 4ab, 又∵c² = a² + b², ∴2(a² + b²) - 4ab = 2(a - b)² ≥ 0, ∴该“直系一元二次方程”必有实数根.

答案：
(1) ②
(2) 解:
∵x = - 1是方程的一个根,
∴a - √2c + b = 0,
∴a + b = √2c.
∵△ABC的周长为2√2 + 2,
∴a + b + c = 2√2 + 2,
∴√2c + c = 2√2 + 2,
∴c = 2.
(3) 证明: (√2c)² - 4ab = 2c² - 4ab, 又
∵c² = a² + b²,
∴2(a² + b²) - 4ab = 2(a - b)² ≥ 0,
∴该“直系一元二次方程”必有实数根.