《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

8. 新定义 对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号$min\{ a,b\} $表示a,b中的较小值.如:$min\{ 2,-3\} = -3$.按照这个规定,方程$min\{ x,x-1\} = x^{2}-3$的解为$ x_{1}=2,x_{2}=-1 $.

答案： $ x_{1}=2,x_{2}=-1 $

9. 如图,A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且O为AB的中点,B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是$x^{2}-3x$,则$x=$6.

答案： 6

10. 用因式分解法解下列方程:
(1)$x(x-1)= 2-2x;$
(2)$2(x-3)^{2}= x^{2}-9;$
(3)$4(x-3)^{2}= (3x+5)^{2}.$

答案：
(1) $ x_{1}=1,x_{2}=-2 $
(2) $ x_{1}=3,x_{2}=9 $
(3) $ x_{1}=\frac{1}{5},x_{2}=-11 $

(1)分解因式:$x^{2}+6x+8= (x+$2)$(x+$4);
(2)请用上述方法解方程$x^{2}-3x-4= 0.$
解: $ \because x^{2}-3x - 4 = 0 $, $ x^{2}+(-4 + 1)x+(-4)×1 = 0 $, $ \therefore (x + 1)(x - 4)=0 $, 则 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 4 = 0 $, 解得 $ x_{1}=-1,x_{2}=4 $.

答案：
(1) 2 4
(2) 解: $ \because x^{2}-3x - 4 = 0 $, $ x^{2}+(-4 + 1)x+(-4)×1 = 0 $, $ \therefore (x + 1)(x - 4)=0 $, 则 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 4 = 0 $, 解得 $ x_{1}=-1,x_{2}=4 $.

12. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}-2bx+(a-c)= 0$,其中a,b,c分别为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x= 1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： 解:
(1) $ \triangle ABC $ 为等腰三角形, 理由如下: 将 $ x = 1 $ 代入方程, 得 $ a + c - 2b + a - c = 0 $, 则 $ a = b $, 所以 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形.
(2) $ \triangle ABC $ 为直角三角形, 理由: 根据题意, 得 $ (-2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0 $, 即 $ b^{2}+c^{2}=a^{2} $, 所以 $ \triangle ABC $ 为直角三角形.
(3) $ \because \triangle ABC $ 为等边三角形, $ \therefore a = b = c $, $ \therefore $ 方程化为 $ x^{2}-x = 0 $, 解得 $ x_{1}=0,x_{2}=1 $.