《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

8. 已知 P 是半径为 4 的$\odot O$上一点,平面上一点 Q 到点 P 的距离为 2,则线段 OQ 的长度 a 的取值范围为2≤a≤6.

答案： 2≤a≤6

9. 新考法 (2024·宜兴模拟)如图,在$Rt\triangle ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 10$. M 是平面内的一点,$AM= 6$.将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转一周,连接 BM,取 BM 的中点 N,连接 CN,则 CN 的取值范围是____2≤CN≤8.

答案： 2≤CN≤8

10. 如图,在$□ ABCD$中,$∠BAD$为钝角,且$AE⊥BC$于点 E,$AF⊥CD$于点 F,连接 BD.
求证:A,E,C,F 四点在同一个圆上.

答案：
证明: 如答图, 连接AC交BD于点O, 连接EO, FO.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ O为AC的中点,
∴ AO = CO = $\frac{1}{2}$AC.
∵ AE⊥BC, AF⊥CD,
∴ ∠AEC = ∠AFC = 90°,
∴ EO = $\frac{1}{2}$AC, FO = $\frac{1}{2}$AC,
∴ AO = CO = EO = FO,
∴ A, E, C, F四点在以点O为圆心, $\frac{1}{2}$AC长为半径的圆上.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 10,BC= 8,CD⊥AB$于点 D,O 为 AB 的中点.
(1)以点 C 为圆心,6 为半径作圆,试判断点 A,D,B 与$\odot C$的位置关系;
(2)当$\odot C$的半径为多少时,点 O 在$\odot C$上?
(3)若以点 C 为圆心作圆,使 A,O,B 三点至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则$\odot C$的半径 r 的取值范围是什么?

答案： 解:
(1)
∵ 在△ABC中, ∠ACB = 90°, AB = 10, BC = 8,
∴ AC = 6,
∴ 点A在⊙C上.
∵ CD⊥AB,
∴ S△ABC = $\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CD,
∴ 6×8 = 10CD,
∴ CD = 4.8, 4.8＜6,
∴ 点D在⊙C内.
∵ BC = 8, 8＞6,
∴ 点B在⊙C外.
(2) 在△ABC中, ∠ACB = 90°,
∵ O为AB的中点,
∴ OC = $\frac{1}{2}$AB = 5,
∴ 当⊙C的半径为5时, 点O在⊙C上.
(3)
∵ AC = 6, OC = 5, BC = 8,
∴ OC＜AC＜BC,
∴ 当5＜r＜8时, A, O, B三点至少有一点在圆内, 且至少有一点在圆外.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 2\sqrt {5},BC= 4$,D 是 AB 的中点,若以点 D 为圆心,r 为半径作$\odot D$,使点 B 在$\odot D$内,点 C 在$\odot D$外,试求 r 的取值范围.

答案：
解: 如答图, 连接CD, 过点A作AE⊥BC于点E, 过点D作DF⊥BC于点F, 则DF//AE.
∵ AB = AC = 2$\sqrt{5}$, BC = 4, AE⊥BC,
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 2,
∴ AE = $\sqrt{AB^{2} - BE^{2}}$ = 4.
∵ D是AB的中点, DF//AE, 则DF是△ABE的中位线,
∴ DF = $\frac{1}{2}$AE = 2, BF = $\frac{1}{2}$BE = 1,
∴ CF = 3,
∴ CD = $\sqrt{DF^{2} + CF^{2}}$ = $\sqrt{13}$.又DB = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{5}$,
∴ r的取值范围是 $\sqrt{5}$＜r＜$\sqrt{13}$.