《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

8. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA= 3,则△ABC外接圆的面积为$ 9\pi $.

答案： $ 9\pi $

9. (2024·姑苏区月考)如图,在△ABC中,AB= AC= 2$\sqrt{10}$,BC= 4,⊙O是△ABC的外接圆.求⊙O的半径.

答案：
解：如答图，过点 $ A $ 作 $ AD \perp BC $，垂足为 $ D $，连接 $ OB, OC $。

$ \because AB = AC, AD \perp BC $，$ \therefore AD $ 垂直平分 $ BC $。
$ \because OB = OC $，
$ \therefore $ 点 $ O $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上，即点 $ O $ 在 $ AD $ 上。
$ \because BC = 4 $，$ \therefore BD = \frac{1}{2}BC = 2 $。
在 $ Rt\triangle ABD $ 中，$ \angle ADB = 90^{\circ}, AB = 2\sqrt{10} $，
$ \therefore AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = 6 $。
设 $ OA = OB = r $，则 $ OD = 6 - r $，
在 $ Rt\triangle OBD $ 中，$ \angle ODB = 90^{\circ} $，
$ \therefore OD^{2} + BD^{2} = OB^{2} $，即 $ (6 - r)^{2} + 2^{2} = r^{2} $，解得 $ r = \frac{10}{3} $，
即 $ \odot O $ 的半径为 $ \frac{10}{3} $。

10. 如图,在△ABC中,D是∠BAC平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE//AC交AB于点E.求证:E是过A,B,D三点的圆的圆心.

答案： 证明：$ \because $ 点 $ D $ 在 $ \angle BAC $ 的平分线上，
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD $。
又 $ \because DE // AC $，$ \therefore \angle CAD = \angle EDA $，
$ \therefore \angle BAD = \angle EDA $，$ \therefore AE = DE $。
又 $ \because BD \perp AD $，$ \therefore \angle ADB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle EBD + \angle BAD = \angle EDB + \angle EDA = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle EBD = \angle EDB $，
$ \therefore BE = DE $，$ \therefore AE = BE = DE $，
$ \therefore $ 点 $ A, B, D $ 在以点 $ E $ 为圆心，$ AE $ 的长为半径的圆上，
$ \therefore $ 点 $ E $ 是过 $ A, B, D $ 三点的圆的圆心。

11. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如:线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
(1)请分别作出图中两个三角形的最小覆盖圆;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律? 请写出你所得到的结论.(不要求证明)

答案：
解：
(1) 如答图所示。

(2) 锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。