《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

7.若$a^{2}+5ab-b^{2}= 0$,且$ab≠0$,则$\frac {a}{b}$的值为$ -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2} $.

答案： $ -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2} $

8.新定义对实数a,b定义运算“*”：$a*b= \left\{\begin{array}{l} a^{2}-ab(a＞b),\\ b^{a}(a≤b),\end{array} \right. 则满足x*2= \frac {1}{4}$的x的值为-2 或 $\frac{2+\sqrt{5}}{2}$.

答案： -2 或 $ \frac{2+\sqrt{5}}{2} $

9.若一元二次方程$x^{2}+bx+4= 0$的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则$b+\sqrt {b^{2}-16}= $-2m.

答案： -2m

10.用公式法解下列方程:
(1)$3x(x-3)= 2(x-1)(x+1);$
(2)$(x+1)(x-1)= 2\sqrt {2}x;$
(3)$(x+3)^{2}= 2x+7;$
(4)$3x^{2}-2x-3= -2(x-2)^{2}.$

答案： $(1)$ 解方程$3x(x - 3)=2(x - 1)(x + 1)$
- **步骤一：将方程化为一般形式
$\begin{aligned}3x(x - 3)&=2(x - 1)(x + 1)\\3x^2-9x&=2(x^2 - 1)\\3x^2-9x&=2x^2 - 2\\3x^2-2x^2-9x + 2&=0\\x^2-9x + 2&=0\end{aligned}$
- **步骤二：确定$a$、$b$、$c$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a\neq0$），此方程中$a = 1$，$b=-9$，$c = 2$。
- **步骤三：计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac$
$\Delta=(-9)^2-4×1×2=81 - 8 = 73$。
- **步骤四：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解
$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$。
所以$x_1=\frac{9 + \sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9 - \sqrt{73}}{2}$。
$(2)$ 解方程$(x + 1)(x - 1)=2\sqrt{2}x$
- **步骤一：将方程化为一般形式
$\begin{aligned}(x + 1)(x - 1)&=2\sqrt{2}x\\x^2-1&=2\sqrt{2}x\\x^2-2\sqrt{2}x - 1&=0\end{aligned}$
- **步骤二：确定$a$、$b$、$c$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a\neq0$），此方程中$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = -1$。
- **步骤三：计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac$
$\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=8 + 4 = 12$。
- **步骤四：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
所以$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
$(3)$ 解方程$(x + 3)^2=2x + 7$
- **步骤一：将方程化为一般形式
$\begin{aligned}(x + 3)^2&=2x + 7\\x^2+6x + 9&=2x + 7\\x^2+6x-2x + 9 - 7&=0\\x^2+4x + 2&=0\end{aligned}$
- **步骤二：确定$a$、$b$、$c$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a\neq0$），此方程中$a = 1$，$b = 4$，$c = 2$。
- **步骤三：计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac$
$\Delta=4^2-4×1×2=16 - 8 = 8$。
- **步骤四：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解
$x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}$。
所以$x_1=-2+\sqrt{2}$，$x_2=-2-\sqrt{2}$。
$(4)$ 解方程$3x^2-2x-3=-2(x - 2)^2$
- **步骤一：将方程化为一般形式
$\begin{aligned}3x^2-2x-3&=-2(x - 2)^2\\3x^2-2x-3&=-2(x^2-4x + 4)\\3x^2-2x-3&=-2x^2+8x - 8\\3x^2+2x^2-2x-8x-3 + 8&=0\\5x^2-10x + 5&=0\\x^2-2x + 1&=0\end{aligned}$
- **步骤二：确定$a$、$b$、$c$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a\neq0$），此方程中$a = 1$，$b=-2$，$c = 1$。
- **步骤三：计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac$
$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4 - 4 = 0$。
- **步骤四：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解
$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2×1}=1$。
所以$x_1=x_2 = 1$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_1=\frac{9 + \sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9 - \sqrt{73}}{2}$；$(2)$$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$(3)$$x_1=-2+\sqrt{2}$，$x_2=-2-\sqrt{2}$；$(4)$$x_1=x_2 = 1$。

11.已知一个三角形两边的长分别为3和6,第三边的长是方程$x^{2}-13x+36= 0$的根,求这个三角形的周长.

答案： 解: 方程 $ x^{2}-13 x+36=0 $ 的根为
$ x=\frac{13 \pm \sqrt{13^{2}-4 × 1 × 36}}{2 × 1}=\frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{13 \pm 5}{2} $,
解得 $ x=4 $ 或 $ x=9 $.
当 $ x=4 $ 时, 三角形的三边长分别为 3,4,6, 能构成三角形, 周长为 $ 3+4+6=13 $;
当 $ x=9 $ 时, 三角形的三边长分别为 3,6,9, 因为 $ 3+6=9 $, 不能构成三角形, 所以舍去.
综上所述, 这个三角形的周长为 13.

12.阅读理解阅读下面的例题:
解方程:$x^{2}-|x|-2= 0.$
解:当$x≥0$时,原方程化为$x^{2}-x-2= 0,$
解得$x_{1}= 2,x_{2}= -1$(不合题意,舍去).
当$x＜0$时,原方程化为$x^{2}+x-2= 0,$
解得$x_{1}= -2,x_{2}= 1$(不合题意,舍去).
综上,原方程的根是$x_{1}= 2,x_{2}= -2.$
请参照例题解方程:$x^{2}-|x-3|-3= 0.$

答案： 解: 当 $ x \geqslant 3 $ 时, 原方程化为 $ x^{2}-x=0 $,
解得 $ x_{1}=0, x_{2}=1 $ (均不合题意, 舍去).
当 $ x＜3 $ 时, 原方程化为 $ x^{2}+x-6=0 $,
解得 $ x_{1}=2, x_{2}=-3 $.
综上, 原方程的根为 $ x_{1}=2, x_{2}=-3 $.