《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

10. (2024·鼓楼区月考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m= 0$.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程的两根分别为$x_{1},x_{2}$,且满足$3x_{1}+2x_{2}= 6$,求实数m的值.

答案： 解:
(1) 根据题意, 得 $(-4)^{2}-4m≥0$, 解得 $m≤4$,
即实数 $m$ 的取值范围为 $m≤4$.
(2) 根据根与系数的关系, 得 $x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=m$,
又 $\because 3x_{1}+2x_{2}=6,\therefore x_{1}=-2,x_{2}=6$,
$\therefore m=-2×6=-12$.

11. (2024·洪泽区期中)已知关于x的一元二次方程$2x^{2}-(k+2)x+k= 0$.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 2x_{2}$,求k的值.

答案：
(1) 证明: $\because b^{2}-4ac=[-(k+2)]^{2}-4×2×k=k^{2}+4k+4-8k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}≥0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 为何值, 方程总有实数根.
(2) 解: 解方程 $2x^{2}-(k+2)x+k=0$, 得 $x=\frac{k}{2}$ 或 $x=1$.
当 $x_{1}=\frac{k}{2},x_{2}=1$ 时, $\because x_{1}=2x_{2},\therefore \frac{k}{2}=2$, 解得 $k=4$;
当 $x_{1}=1,x_{2}=\frac{k}{2}$ 时, $\because x_{1}=2x_{2},\therefore 1=2×\frac{k}{2}$, 解得 $k=1$.
综上所述, $k$ 的值为 1 或 4.

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+4(k-\frac {1}{2})= 0$.
(1)若等腰$\triangle ABC的一边长a= 4$,另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根,求$\triangle ABC$的周长;
(2)若方程的两个实数根之差等于3,求k的值.

答案： 解:
(1) 由题意, 得 $b^{2}-4ac=[-(2k+1)]^{2}-4×4(k-\frac{1}{2})=(2k-3)^{2},\therefore x=\frac{2k+1\pm(2k-3)}{2}$,
$\therefore x_{1}=2k-1,x_{2}=2$.
设 $b=2k-1,c=2$,
当 $a,b$ 为腰长时, $a=b=4$, 即 $2k-1=4$,
$\therefore k=\frac{5}{2}$,
此时 $\triangle ABC$ 的周长为 $4+4+2=10$;
当 $b,c$ 为腰长时, $b=c=2$, 此时 $b+c=a$, 构不成三角形, 故此种情况不存在.
综上所述, $\triangle ABC$ 的周长为 10.
(2) $\because$ 方程的两个实数根之差等于 3,
$\therefore |2k-1-2|=3$,
解得 $k=0$ 或 $k=3$.

13. 已知关于x的方程$\frac {1}{4}x^{2}-(m-2)x+m^{2}= 0$.
(1)若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根.
(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于224? 若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1) $\because a=\frac{1}{4},b=-(m-2),c=m^{2}$, 且方程有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4ac=[-(m-2)]^{2}-4×\frac{1}{4}×m^{2}=-4m+4=0$,
解得 $m=1$,
$\therefore$ 原方程为 $\frac{1}{4}x^{2}+x+1=0$, 解得 $x_{1}=x_{2}=-2$.
(2) 不存在正数 $m$, 使方程的两个实数根的平方和等于 224. 理由: $\because x_{1}+x_{2}=4m-8,x_{1}x_{2}=4m^{2}$,
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(4m-8)^{2}-2×4m^{2}=8m^{2}-64m+64=224$,
即 $8m^{2}-64m-160=0$,
解得 $m_{1}=10,m_{2}=-2$(不合题意,舍去).
又 $\because$ 当 $m=10$ 时, $b^{2}-4ac=-4m+4=-36＜0$, 此时方程无实数根,
$\therefore$ 不存在正数 $m$, 使方程的两个实数根的平方和等于 224.