《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

9. (2024·灌云县月考)一元二次方程 $ x^{2}+4 = 4x $ 的根的情况是 (C)
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

答案： C

10. (2024·淮安期中)对于关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 的根的情况,有以下四种说法:
①当 $ a \lt 0,b + c \gt 0,a + c \lt 0 $ 时,方程一定没有实数根;②当 $ a \lt 0,b + c \gt 0,b - c \lt 0 $ 时,方程一定有实数根;③当 $ a \gt 0,a + b + c \lt 0 $ 时,方程一定没有实数根;④当 $ a \gt 0,b + 4a = 0,4a + 2b + c = 0 $ 时,方程一定有两个不相等的实数根.其中说法正确的序号是 (B)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： B

11. 定义新运算: $ a※b = a^{2}-ab + b $,例如 $ 2※1 = 2^{2}-2×1 + 1 = 3 $,则方程 $ x※2 = 5 $ 的根的情况为 (D)
A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

答案： D

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(m + 2)x+(2m - 1)= 0 $.
(1) 求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2) 若此方程的一个根是 $ 3 $,请求出 $ m $ 的值和方程的另一个根.

答案：
(1) 证明：$\because b^{2} - 4ac = [-(m + 2)]^{2} - 4(2m - 1) = (m - 2)^{2} + 4 ＞ 0 $，
$\therefore$ 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0 $ 恒有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据题意，得 $ 3^{2} - 3 × (m + 2) + (2m - 1) = 0 $，
解得 $ m = 2 $，
则方程为 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $，解得 $ x_{1} = 1, x_{2} = 3 $。
综上所述，$ m $ 的值为 2，方程的另一个根为 1。

13. 新定义 定义:若一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 满足 $ b = ac $,则称此方程为“蛟龙”方程.
(1) 当 $ b \lt 0 $ 时,判断此时“蛟龙”方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 根的情况,并说明理由;
(2) 若“蛟龙”方程 $ 2x^{2}+mx + n = 0 $ 有两个相等的实数根,请解出此方程.

答案： 解：
(1) “蛟龙”方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根，理由：$\because$ 一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 为“蛟龙”方程，$\therefore b = ac $。
$\because b ＜ 0 $，$\therefore b^{2} - 4ac = b^{2} - 4b = b(b - 4) ＞ 0 $，
$\therefore$ “蛟龙”方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根。
(2) $\because$ 方程 $ 2x^{2} + mx + n = 0 $ 为“蛟龙”方程，$\therefore m = 2n $。
$\because$ 方程 $ 2x^{2} + mx + n = 0 $ 有两个相等的实数根，
$\therefore m^{2} - 4 × 2n = 4n^{2} - 8n = 0 $，$\therefore n = 0 $ 或 $ n = 2 $。
当 $ n = 0 $ 时，方程为 $ 2x^{2} = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = 0 $；
当 $ n = 2 $ 时，方程为 $ 2x^{2} + 4x + 2 = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = -1 $。