《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

10. (2023·鼓楼区三模)如图,矩形ABCD的宽为10,长为12,E是矩形内的动点,$AE⊥BE$,则CE长的最小值为______8.

答案： 8

11. (15分)如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,DB平分$∠ADC$,连接OC,且$OC⊥BD$.
(1)求证:$AB= CD$;
(2)若$CD= 5,BD= 8$,求⊙O的半径.

答案：

(1)证明:
∵DB平分$∠ADC$，
∴$∠ADB = ∠CDB$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∵$OC⊥BD$，$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AB = CD$。
(2)解:连接OB，设OC与BD交于点E，如答图。
∵$OC⊥BD$，$\therefore BE = DE = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×8 = 4$，
$\therefore CE = \sqrt{CD^{2}-DE^{2}} = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
设$\odot O$的半径为r，则$OE = r - 3$。
∵$OB^{2}=OE^{2}+BE^{2}$，$\therefore r^{2}=(r - 3)^{2}+4^{2}$，
解得$r = \frac{25}{6}$，$\therefore \odot O$的半径是$\frac{25}{6}$。

12. (15分)如图,⊙O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点P,AB经过圆心O,E是AC的中点,连接EP并延长,交BD于点F.
(1)若$AB= 10,OE= \sqrt {10}$,求AC的长;
(2)求证:$EF⊥BD$.

答案：
(1)解:
∵E是AC的中点，
∴OE垂直平分AC。
∵$AB = 10$，$\therefore OA = 5$，
$\therefore AC = 2AE = 2\sqrt{5^{2}-(\sqrt{10})^{2}} = 2\sqrt{15}$。
(2)证明:
∵$AB⊥CD$，$\therefore ∠APC = ∠BPD = 90^{\circ}$。
∵在$Rt△APC$中，E是斜边AC的中点，
$\therefore EP = \frac{1}{2}AC = EC$，$\therefore ∠EPC = ∠C$。
∵∠B和∠C都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$\therefore ∠B = ∠C$；
∵$∠EPC = ∠DPF$，$∠B = ∠C$，$\therefore ∠DPF = ∠B$。
∵$∠DPF + ∠BPF = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠B + ∠BPF = 90^{\circ}$，$\therefore ∠BFP = 90^{\circ}$，$\therefore EF⊥BD$。

13. (20分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,C为$\widehat {BD}$的中点,延长AD,BC交于点P,连接AC.
(1)求证:$AB= AP$;
(2)当$AB= 10,DP= 2$时,求线段CP的长.

答案：

(1)证明:
∵C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠BAC = ∠CAP$。
∵AB是直径，$\therefore ∠ACB = ∠ACP = 90^{\circ}$。
在$△ABC$和$△APC$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAC = ∠PAC\\ AC = AC\\ ∠ACB = ∠ACP\end{array}\right.$
$\therefore △ABC\cong △APC(ASA)$，$\therefore AB = AP$。
(2)解:如答图，连接BD。
∵AB是直径，$\therefore ∠ADB = ∠BDP = 90^{\circ}$。
∵$AB = AP = 10$，$DP = 2$，$\therefore AD = 10 - 2 = 8$，
$\therefore BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2}} = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，
$\therefore PB = \sqrt{BD^{2}+PD^{2}} = \sqrt{6^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{10}$。
∵$AB = AP$，$AC⊥BP$，
$\therefore CP = \frac{1}{2}PB = \sqrt{10}$。