《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

10. (15分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC相交于点E.
(1)若$∠B= 70^{\circ}$,求$∠CAD$的度数；
(2)若$AB= 5$,$AC= 4$,求DE的长.

答案： 解：
(1) $\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$.$\because OD // BC$，$\therefore \angle AOD = \angle B = 70^{\circ}, \angle AEO = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore OD \perp AC, \therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，$\therefore \angle CAD = \frac{1}{2}\angle AOD = 35^{\circ}$.
(2) $\because OD \perp AC, \therefore AE = CE = \frac{1}{2}AC = 2$.在 $Rt\triangle AOE$ 中，$OE = \sqrt{OA^{2} - AE^{2}} = \sqrt{(\frac{5}{2})^{2} - 2^{2}} = \frac{3}{2}$，$\therefore DE = OD - OE = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$.

11. (15分)如图,在单位长度为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点$A(1,4)$,$B(-3,4)$,$C(-4,3)$,请在网格图中进行如下操作：
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置,则圆心点M的坐标为______；
(2)若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面圆的半径r.

答案：
解：
(1) 圆心 $M$ 的位置如答图所示 $(-1,1)$
(2) 如答图，连接 $MA, MC, AC$.根据勾股定理，得 $MA = MC = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$，$AC = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，$\therefore MA^{2} + MC^{2} = AC^{2}$，$\therefore \triangle ACM$ 为等腰直角三角形，$\angle AMC = 90^{\circ}$.根据题意，得 $2\pi r = \frac{90\pi × \sqrt{13}}{180}$，解得 $r = \frac{\sqrt{13}}{4}$，即该圆锥的底面圆的半径 $r$ 为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$.

12. (16分)(2024·绥化)如图①,O是正方形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OC长为半径的$\odot O$与AD相切于点E,与AC相交于点F.
(1)求证：AB与$\odot O$相切；
(2)若正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}+1$,求$\odot O$的半径；
(3)如图②,在(2)的条件下,若M是半径OC上的一个动点,过点M作$MN\perp OC交\overparen{CE}$于点N.当$CM:FM= 1:4$时,求CN的长.

答案：

(1) 证明：如答图①，连接 $OE$，过点 $O$ 作 $OG \perp AB$ 于点 $G$. $\because \odot O$ 与 $AD$ 相切于点 $E, \therefore OE \perp AD$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AC$ 是正方形的对角线，$\therefore \angle BAC = \angle DAC = 45^{\circ}, \therefore OE = OG$.$\because OE$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore OG$ 为 $\odot O$ 的半径.$\because OG \perp AB, \therefore AB$ 与 $\odot O$ 相切.
(2) 解：如答图①，$\because AC$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，$\therefore \angle DAC = 45^{\circ}$.$\because \odot O$ 与 $AD$ 相切于点 $E, \therefore \angle AEO = 90^{\circ}$，$\therefore AE = OE$，设 $AE = OE = OC = OF = R$，在 $Rt\triangle AEO$ 中，$\because AE^{2} + EO^{2} = AO^{2}, \therefore AO^{2} = R^{2} + R^{2}$.$\because R ＞ 0, \therefore AO = \sqrt{2}R$.又 $\because$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{2} + 1$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ADC$ 中，由勾股定理，得 $AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.$\because OA + OC = AC, \therefore \sqrt{2}R + R = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1), \therefore R = \sqrt{2}$，即 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$.
(3) 解：如答图②，连接 $FN, ON$. 设 $CM = k, \because CM:FM = 1:4, \therefore CF = 5k$，$\therefore OC = ON = 2.5k, \therefore OM = OC - CM = 1.5k$.在 $Rt\triangle OMN$ 中，由勾股定理，得 $MN = \sqrt{ON^{2} - OM^{2}} = 2k$，在 $Rt\triangle CMN$ 中，由勾股定理，得 $CN = \sqrt{CM^{2} + MN^{2}} = \sqrt{5}k$.又 $\because FC = 5k = 2R = 2\sqrt{2}$，$\therefore k = \frac{2\sqrt{2}}{5}, \therefore CN = \sqrt{5} × \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.