《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

1. (2024·洪泽区期中)如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,AE= 6,BE= 2,CD= 2√{14},求∠AED的度数.

答案：
1.解:如答图，连接OD,过点O作OH⊥CD于点H.
则有DH=CH=$\frac{1}{2}$CD.
∵CD=2$\sqrt{14}$,
∴DH=$\sqrt{14}$.
又
∵AE=6,BE=2,
∴AB=8,
∴OA=OD=4,
∴OE=2.
在Rt△OHD中,OH=$\sqrt{OD^{2}-DH^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-(\sqrt{14})^{2}}$=$\sqrt{2}$.
在Rt△OHE中,由勾股定理,得EH=$\sqrt{OE^{2}-OH^{2}}$=$\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∴OH=EH,
∴∠OEH=45°,即∠AED=45°.

2. 如图,AB是⊙O的弦,点C,D在直线AB上,且AC= BD,连接OC,OD. 求证:OC= OD.

答案：
2.证明:过点O作OH⊥CD于点H,如答图，则∠OHC=∠OHD=90°,AH=BH.
∵AC=BD,
∴AC+AH=BD+BH,
即CH=DH.
在△OCH和△ODH中，$\begin{cases}CH = DH\\\angle OHC = \angle OHD\\OH = OH\end{cases}$
∴△OCH≌△ODH(SAS),
∴OC=OD.

3. 如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点. 以点O为圆心,5为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于点A,B和点C,D,连接OA,且OA//PE.
(1)求证:AP= AO;
(2)若弦AB= 8,求OP的长.

答案：
3.
(1)证明:
∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO.
∵OA//PE,
∴∠DPO=∠AOP,
∴∠APO=∠AOP,
∴AP=AO.
(2)解:过点O作OH⊥AB于点H,如答图，则AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=4.

在Rt△AOH中,
∵OA=5，AH=4,
∴OH=$\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∵AP=AO=5,
∴PH=AP+AH=5+4=9.
在Rt△POH中,
OP=$\sqrt{OH^{2}+PH^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+9^{2}}$=3$\sqrt{10}$