《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版连淮专版》

8. 关于 x 的方程$x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} - 2 = 0的两根为x_{1}和x_{2}$,且$(x_{1} - 2)(x_{1} - x_{2}) = 0$,则 k 的值是-2 或 $ - \frac { 9 } { 4 } $.

答案： -2 或 $ - \frac { 9 } { 4 } $

9. (2024·涟水县模拟)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2} - 2(k + 1)x + k^{2} + 2 = 0$的两实数根分别为α,β,且$(2α + 1)(2β + 1) = 21$,求 k 的值.

答案： 解: $\because$ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( k + 1 ) x + k ^ { 2 } + 2 = 0 $ 有实数根,
$\therefore [ - 2 ( k + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 × 1 × ( k ^ { 2 } + 2 ) \geq 0 $, 解得 $ k \geq \frac { 1 } { 2 } $.
$\because$ 方程的两实数根分别为 $\alpha$, $\beta$,
$\therefore \alpha + \beta = 2 k + 2$, $\alpha \beta = k ^ { 2 } + 2$.
又 $\because ( 2 \alpha + 1 ) ( 2 \beta + 1 ) = 21$, $\therefore 4 \alpha \beta + 2 ( \alpha + \beta ) + 1 = 21$,
即 $ 4 ( k ^ { 2 } + 2 ) + 2 ( 2 k + 2 ) + 1 = 21 $, 解得 $ k = 1 $ 或 $ k = - 2 $.
又 $\because k \geq \frac { 1 } { 2 } $, $\therefore k = 1$.

10. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2} - 2x + k + 2 = 0$的两个实数根.
(1)求 k 的取值范围.
(2)是否存在实数 k,使得等式$\frac {1}{x_{1}} + \frac {1}{x_{2}} = k - 2$成立? 如果存在,请求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1) $\because$ 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + k + 2 = 0 $ 有两个实数根,
$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( k + 2 ) \geq 0 $, 解得 $ k \leq - 1 $.
(2) 存在. $\because x _ { 1 }$, $x _ { 2 }$ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + k + 2 = 0 $ 的两个实数根, $\therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2$, $x _ { 1 } x _ { 2 } = k + 2$.
若 $ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = k - 2 $ 成立,
则 $ \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } = \frac { 2 } { k + 2 } = k - 2 $,
$\therefore k ^ { 2 } - 6 = 0 $, 解得 $ k _ { 1 } = - \sqrt { 6 } $, $k _ { 2 } = \sqrt { 6 } $.
又 $\because k \leq - 1 $, $\therefore k = - \sqrt { 6 } $,
$\therefore$ 存在这样的实数 $ k $, 使得等式 $ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = k - 2 $ 成立,
$k$ 的值为 $ - \sqrt { 6 } $.

11. 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8,边 CD 的长是方程$x^{2} - 10x + 24 = 0$的一个根,则菱形 ABCD 的周长为24.

答案： 24

12. 若$\triangle ABC$的一条边 BC 的长为 5,另两边 AB,AC 的长是关于 x 的一元二次方程$x^{2} - (2k + 3)x + k^{2} + 3k + 2 = 0$的两个实数根,当$k= $2 或 11时,$\triangle ABC$是直角三角形.

答案： 2 或 11

13. 在等腰$\triangle ABC$中,三边长分别为 a,b,c,其中$a = 5$,若关于 x 的方程$x^{2} + (b + 2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解: $\because$ 关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + ( b + 2 ) x + 6 - b = 0 $ 有两个相等的实数根, $\therefore ( b + 2 ) ^ { 2 } - 4 ( 6 - b ) = 0 $, 即 $ b ^ { 2 } + 8 b - 20 = 0 $,
解得 $ b = 2 $ 或 $ b = - 10 $ (舍去).
① 当 $ a $ 为底边长, $ b $ 为腰长时, $ 2 + 2 ＜ 5 $, 构不成三角形, 此种情况不成立;
② 当 $ b $ 为底边长, $ a $ 为腰长时, 5, 5, 2 能够构成三角形,
此时 $\triangle A B C$ 的周长为 $ 5 + 5 + 2 = 12 $.
综上, $\triangle A B C$ 的周长是 12.