《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$.能否也用配方法得出这个方程的解呢?

答案： 解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，
首先将方程两边同时除以$a$，得到$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
然后进行配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{b}{2a})^{2}$，
$x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}+\frac{c}{a}=0$，
根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，这里$m = x$，$n=\frac{b}{2a}$，则$(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=0$，
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$，
通分可得$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
当$b^{2}-4ac\geq0$时，
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
当$b^{2}-4ac\lt0$时，方程在实数范围内无解。
所以一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的解为：当$b^{2}-4ac\geq0$时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；当$b^{2}-4ac\lt0$时，方程无实数解。

1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$根的判别式$\Delta =$$b^{2}-4ac$.

答案： 1. $b^{2}-4ac$

2. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$根的判别式与其根的情况的关系:
当$\Delta ＞0$时,方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不等的实数根;
当$\Delta =0$时,方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个相等的实数根;
当$\Delta ＜0$时,方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$无实数根.

答案： 2. 不等 相等 无

3. 公式法:当$\Delta$$\geqslant 0$时,方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有实数根,其根可写为$x=$$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

答案： 3. $\geqslant 0$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 公式法

例1(教材补充例题)利用判别式判断下列方程的根的情况:
(1)$x^{2}-5x=-7;$ (2)$x^{2}+5=2\sqrt {5}x;$
(3)$(x-1)(2x+3)=x.$

答案： 例 1
(1)方程无实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程有两个不等的实数根