《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为$10x - 4.9x^{2}$.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?(只列出方程,不用求解)

答案： 解:设物体经过 $ x $ s 落回地面,这时它离地面的高度为 $ 0 $ m,即 $ 10x - 4.9x^{2} = 0 $.

引发思考
(1)除配方法或公式法以外,你能根据“如果$a\cdot b = 0$,那么$a = 0$,或$b = 0$”解这个方程吗?
(2)解方程时,二次方程是如何降为一次的?

答案： 1. （1）
例如对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，我们可以将其因式分解为$(x - 1)(x - 2)=0$。
根据“如果$a\cdot b = 0$，那么$a = 0$，或$b = 0$”，这里$a=x - 1$，$b=x - 2$，则$x−1 = 0$或$x−2 = 0$，解得$x = 1$或$x = 2$。
2. （2）
解(证明)：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，当我们将其因式分解为$(mx + n)(px+q)=0$（$m$、$n$、$p$、$q$为常数）的形式时，根据“如果$a\cdot b = 0$，那么$a = 0$，或$b = 0$”，就把二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$转化为两个一次方程$mx + n = 0$和$px + q = 0$，从而实现了二次方程降为一次方程。
所以（1）可以，如$x^{2}-3x + 2 = 0$可因式分解为$(x - 1)(x - 2)=0$求解；（2）通过因式分解把一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于$0$的形式，根据$a\cdot b = 0$则$a = 0$或$b = 0$，将二次方程降为一次方程。

因式分解法:先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

答案： 乘积等于 0 0 因式分解法

例1(教材补充例题)用因式分解法解下列方程:
(1)$x^{2} = 3x$;
(2)$x^{2} - 2x + 1 = 0$;
(3)$x^{2} - 1 = 0$.

答案：
(1)$ x_{1} = 0,x_{2} = 3 $
(2)$ x_{1} = x_{2} = 1 $
(3)$ x_{1} = -1,x_{2} = 1 $

例2(教材典题)解下列方程:
(1)$x(x - 2) + x - 2 = 0$;
(2)$5x^{2} - 2x - \frac{1}{4} = x^{2} - 2x + \frac{3}{4}$.

答案：
(1)$ x_{1} = 2,x_{2} = -1 $
(2)$ x_{1} = -\frac{1}{2},x_{2} = \frac{1}{2} $