《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

例1 (2024牡丹江)将抛物线$y=ax^{2}+bx+3$向下平移5个单位长度后,经过点$(-2,4)$,则$6a-3b-7=$2.

答案： 2

二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图像和性质：
1. 抛物线的开口方向由$a$决定：当$a>0$时，抛物线开口向开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向开口向下。
2. 抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$：当$b = 0$时，抛物线的对称轴是$y$轴；当$a$、$b$同号时，对称轴在$y$轴左侧；当$a$、$b$异号时，对称轴在$y$轴右侧。（可简记为“左同右异”）
3. 抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,c)$：当$c = 0$时，抛物线经过原点；当$c>0$时，抛物线与$y$轴交于正半轴；当$c<0$时，抛物线与$y$轴交于负半轴。
4. 抛物线与$x$轴的交点个数由$b^{2}-4ac$决定：当$b^{2}-4ac>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$b ^ { 2 } - 4 a c = 0$时，抛物线与$x$轴有一个交点（顶点在$x$轴上）；当$b^{2}-4ac<0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
5. 二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的函数值符号：如图是二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像，由图像可知：
（1）抛物线与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(1,0)$，则方程$ax^{2}+bx+c=0$的根是$x_{1}=$$- 1$，$x_{2}=$1；
（2）当$x<-1$或$x>1$时，$y ＞ 0$；当$-1（3）若方程$ax^{2}+bx+c=k$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是$k<$

$- 1$

；
（4）不等式$ax^{2}+bx+c>0$的解集是$x<-1$或$x>1$；不等式$ax^{2}+bx+c<0$的解集是

$y ＞ 0$

。

答案： 开口向上 开口向下 $ b = 0 $ $ y $ 轴左侧 $ y $ 轴右侧 $ c = 0 $ 正半轴 负半轴 $ b ^ { 2 } - 4 a c = 0 $ 两个 没有 $ - 1 $ 1 $ y ＞ 0 $ $ - 1 $ $ y ＞ 0 $

例2 (2024德阳)如图22-T-1,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的顶点$A$的坐标为$(-\frac{1}{3},n)$,与$x$轴的一个交点的横坐标位于0和1之间.有以下结论:
①$abc＞0$;②$5b+2c＜0$;③若抛物线经过点$(-6,y_{1})$,$(5,y_{2})$,则$y_{1}＞y_{2}$;④若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=4$无实数根,则$n＜4$.
其中正确的结论是①②④(请填写序号).

答案： ①②④

例3 (2024浙江节选)已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$($b$,$c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$,对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度后,恰好落在$y=x^{2}+bx+c$的图象上,求$m$的值.

答案：
(1)$ y = x ^ { 2 } + x + 3 $
(2)$ m = 4 $