《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

活动1 理解并掌握二次函数$y = a(x - h)^2$的图象与性质
操作尝试
(1)在同一直角坐标系中,画出二次函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$和$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$的图象;
(2)观察图象,然后填表:


| |开口方向|对称轴|顶点坐标|增减性|
|----|----|----|----|----|
|$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$|向下|$x=-1$|$(-1,0)$|当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小|
|$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$|向下|$x = 1$|$(1,0)$|当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小|

答案： 1. 对于$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$：
因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以开口方向向下。
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^2$，其对称轴为$x = h$，在$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$中$h=-1$，所以对称轴是$x=-1$。
顶点坐标：当$x=-1$时，$y = 0$，所以顶点坐标是$(-1,0)$。
增减性：当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
2. 对于$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$：
因为$a = -\frac{1}{2}＜0$，所以开口方向向下。
对称轴：在$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$中$h = 1$，所以对称轴是$x = 1$。
顶点坐标：当$x = 1$时，$y = 0$，所以顶点坐标是$(1,0)$。
增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
填表如下：
| |开口方向|对称轴|顶点坐标|增减性|
|----|----|----|----|----|
|$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$|$向下$|$x=-1$|$(-1,0)$|当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小|
|$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$|$向下$|$x = 1$|$(1,0)$|当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小|

二次函数$y = a(x - h)^2$的图象和性质:

当$a>0$时，抛物线开口向上，对称轴是直线$x = h$，顶点坐标是$(h,0)$；在对称轴左侧，即$x减小

；在对称轴右侧，即$x>h$时，$y$随$x$的增大而

增大

。
当$a<0$时，抛物线开口向

下

，对称轴是

直线$x = h$

，顶点坐标是

$(h,0)$

；在对称轴左侧，即$x增大

例1 (教材补充例题)在平面直角坐标系中,二次函数$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$的图象可能是
(D)

答案： D