《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

(1)你能把二次函数$y=\frac {1}{2}x^{2}-6x+21$化成$y=a(x-h)^{2}+k$的形式吗?

答案： 解:y=$\frac{1}{2}$x²−6x+21=$\frac{1}{2}$(x−6)²+3.

(2)类比以上方法将二次函数$y=ax^{2}+bx+c$化为$y=a(x-h)^{2}+k$的形式.

答案： 解：
$\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}\end{aligned}$
其中$h = -\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。

例1(教材补充例题)把下列函数写成$y=a(x-h)^{2}+k$的形式,并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y=-x^{2}+6x+1;$ (2)$y=\frac {2}{3}x^{2}-4x+\frac {19}{3}.$

答案： 解:
(1)y=-x²+6x+1=-(x-3)²+10,
∴此函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,10).
(2)y=$\frac{2}{3}$x²−4x+$\frac{19}{3}$=$\frac{2}{3}$(x−3)²+$\frac{1}{3}$,
∴此函数图象的开口向上，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,$\frac{1}{3}$).

如何画出函数$y=\frac {1}{2}x^{2}-6x+21$的图象?说出你的方法,并在坐标系中画出图象.

答案：
解:y=$\frac{1}{2}$x²−6x+21=$\frac{1}{2}$(x−6)²+3.
列表如下：

描点、连线，得到函数y=$\frac{1}{2}$(x−6)²+3的图象如图.

(1)写出二次函数$y=\frac {1}{2}x^{2}-6x+21$的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与函数的增减性;

答案： 解:
(1)二次函数y=$\frac{1}{2}$x²−6x+21的图象开口向上，对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,3).当x＜6 时,y随x的增大而减小;当x＞6时,y随x的增大而增大.

(2)二次函数$y=\frac {1}{2}x^{2}-6x+21$的图象是由二次函数$y=\frac {1}{2}x^{2}$的图象经过怎样的平移得到的?

答案：
(2)将二次函数y=$\frac{1}{2}$x²的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y=$\frac{1}{2}$x²−6x+21的图象(平移方法不唯一).