《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

活动1 会用描点法画出二次函数$y=ax^{2}$的图象，了解抛物线的有关概念

1. （1）填表：
当$x = - 3$时，$y=x^{2}=(-3)^{2}=9$；
当$x=-2$时，$y=x^{2}=(-2)^{2}=4$；
当$x = - 1$时，$y=x^{2}=(-1)^{2}=1$；
当$x = 0$时，$y=x^{2}=0^{2}=0$；
当$x = 1$时，$y=x^{2}=1^{2}=1$；
当$x = 2$时，$y=x^{2}=2^{2}=4$；
当$x = 3$时，$y=x^{2}=3^{2}=9$。
所以表格从左到右依次填$9$，$4$，$1$，$0$，$1$，$4$，$9$。
2. （2）引发思考：
（1）图象的形状是抛物线。
（2）图象是轴对称图形，它的对称轴是$y$轴（或直线$x = 0$）。
（3）当$x\lt0$时，随着$x$值的增大，$y$的值减小；当$x\gt0$时，随着$x$值的增大，$y$的值增大。

答案： 1. （1）填表：
当$x = - 3$时，$y=x^{2}=(-3)^{2}=9$；
当$x=-2$时，$y=x^{2}=(-2)^{2}=4$；
当$x = - 1$时，$y=x^{2}=(-1)^{2}=1$；
当$x = 0$时，$y=x^{2}=0^{2}=0$；
当$x = 1$时，$y=x^{2}=1^{2}=1$；
当$x = 2$时，$y=x^{2}=2^{2}=4$；
当$x = 3$时，$y=x^{2}=3^{2}=9$。
所以表格从左到右依次填$9$，$4$，$1$，$0$，$1$，$4$，$9$。
2. （2）引发思考：
（1）图象的形状是抛物线。
（2）图象是轴对称图形，它的对称轴是$y$轴（或直线$x = 0$）。
（3）当$x\lt0$时，随着$x$值的增大，$y$的值减小；当$x\gt0$时，随着$x$值的增大，$y$的值增大。

(1)二次函数$y=x^{2}$的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线。抛物线$y=x^{2}$关于$y$轴对称，它与对称轴的交点$(0,0)$叫做抛物线$y=x^{2}$的顶点，该点是抛物线的最低点。

答案：
(1)抛物线 $ y = x^{2} $ $ y $ 轴 $ (0,0) $ 顶点 低

(2)在对称轴的____，抛物线$y=x^{2}$从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右____。也就是说，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而____；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而____。

答案：
(2)左侧 上升 减小 增大

活动2 二次函数$y=ax^{2}$的图象和性质
操作尝试
(1)在同一直角坐标系中，画出函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$，$y=2x^{2}$的图象；
(2)在同一直角坐标系中，画出函数$y=-x^{2}$，$y=-\frac{1}{2}x^{2}$，$y=-2x^{2}$的图象。

答案： （1）
- **共同点**：
函数$y = \frac{1}{2}x^{2}$，$y = 2x^{2}$与$y = x^{2}$的图象都是抛物线，对称轴都是$y$轴（即直线$x = 0$），顶点都是坐标原点$(0,0)$。
不同点**：
开口大小不同，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口越宽。$y = 2x^{2}$的开口比$y = x^{2}$窄，$y=\frac{1}{2}x^{2}$的开口比$y = x^{2}$宽。
（2）
共同点**：
函数$y=-x^{2}$，$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，$y=-2x^{2}$的图象都是抛物线，对称轴都是$y$轴（即直线$x = 0$），顶点都是坐标原点$(0,0)$，开口方向都向下。
不同点**：
开口大小不同，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口越宽。$y=-2x^{2}$的开口比$y=-x^{2}$窄，$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的开口比$y=-x^{2}$宽。
（3）
当$a\gt0$时：
二次函数$y = ax^{2}$的图象是一条抛物线，对称轴是$y$轴（直线$x = 0$），顶点是坐标原点$(0,0)$，开口向上，在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而增大，顶点是图象的最低点。
当$a\lt0$时：
二次函数$y = ax^{2}$的图象是一条抛物线，对称轴是$y$轴（直线$x = 0$），顶点是坐标原点$(0,0)$，开口向下，在对称轴左侧（$x\lt0$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x\gt0$），$y$随$x$的增大而减小，顶点是图象的最高点。