《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

设下表中方程的两个根为$x_{1},x_{2}$，完成下表：

第一行:3 -1 2 -3
第二行:1 2 3 2
第三行:-2 -3 -5 6

答案： 第一行:3 -1 2 -3
第二行:1 2 3 2
第三行:-2 -3 -5 6

引发思考
(1)从因式分解法可知，方程$(x-x_{1})(x-x_{2})=0(x_{1},x_{2}$为已知数)的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，将方程化为$x^{2}+px+q=0$的形式，你能看出$x_{1},x_{2}$与$p,q$之间的关系吗？

答案： $(1)$
解：
将$(x - x_1)(x - x_2)=0$展开：
$\begin{aligned}(x - x_1)(x - x_2)&=0\\x^2-x_2x-x_1x + x_1x_2&=0\\x^2-(x_1 + x_2)x+x_1x_2&=0\end{aligned}$
与$x^2+px + q = 0$对比，可得$p=-(x_1 + x_2)$，$q = x_1x_2$，即$x_1 + x_2=-p$，$x_1x_2 = q$。

(2)一般的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$中，二次项系数$a$未必是1，它的两个根$x_{1},x_{2}$的和、积与系数又有怎样的关系呢？

答案：
$(2)$
解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，若方程的两根为$x_1$，$x_2$，则：
$x_1=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
求两根之和**：
$x_1 + x_2=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$。
求两根之积**：
$x_1x_2=\frac{(-b + \sqrt{b^{2}-4ac})(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{(2a)(2a)}$
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m=-b$，$n = \sqrt{b^{2}-4ac}$，则$(-b + \sqrt{b^{2}-4ac})(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})=(-b)^{2}-(\sqrt{b^{2}-4ac})^{2}=b^{2}-(b^{2}-4ac)=4ac$。
所以$x_1x_2=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$。
综上，在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$满足$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。

1. 若一元二次方程$x^{2}+px+q=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=$$-p$，$x_{1}x_{2}=$$q$.

答案： 1. 对于一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$（其中$a = 1$，$b = p$，$c = q$），根据韦达定理：
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，将$a = 1$，$b = p$代入可得$x_{1}+x_{2}=-p$；
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，将$a = 1$，$c = q$代入可得$x_{1}x_{2}=q$。
故答案依次为：$-p$；$q$。

2. 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____.

答案： 2. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

例1 (教材典题)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根$x_{1},x_{2}$的和与积：
(1)$x^{2}-6x-15=0$； (2)$3x^{2}+7x-9=0$； (3)$5x-1=4x^{2}$.

答案：
(1)$x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=-15$
(2)$x_{1}+x_{2}=-\frac{7}{3},x_{1}x_{2}=-3$
(3)$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{4},x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}$

防 易错
写一元二次方程两个根的和、积与系数的关系时的注意点
(1)需先将方程化为一般形式，找对$a,b,c$的值；
(2)$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}$中的负号与方程中$a,b$的符号不要混淆；
(3)运用根与系数的关系时，必须在方程有根的前提下才能使用.

答案：