《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

例4 如图23-T-4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α，得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的大小；
(2)若α=60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形.

答案： 例4　
(1)$\angle ADE = 15^{\circ}$
(2)证明:
∵F是边AC的中点,∠ABC = 90°,
∴BF = CF = $\frac{1}{2}$AC.
∵∠ABC = 90°,∠ACB = 30°,
∴AB = $\frac{1}{2}$AC,∠A = 60°,
∴BF = CF = AB.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,
∴∠ACD = ∠BCE = 60°,CB = CE,DE = AB,CD = CA,
∴DE = BF,△BCE为等边三角形，
∴BE = CB.
在△CFD和△ABC中,$\begin{cases}CF = AB,\\ \angle DCF = \angle A = 60^{\circ},\\ CD = AC,\end{cases}$
∴△CFD≌△ABC(SAS),
∴DF = CB,
∴DF = BE.
又
∵BF = DE,
∴四边形BEDF是平行四边形.

例5 (2024烟台改编)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，连接BE.
【尝试发现】
(1)如图23-T-5①，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)若AC=BC=1，CD=2，请直接写出CE的长.

答案：
例5　解:
(1)BE = $\sqrt{2}$CD
(2)补全图形如图，BE = $\sqrt{2}$CD.

证明如下:
如图,过点E作EM⊥BC于点M.
由旋转的性质,得AD = DE,∠ADE = 90°,
∴∠ADC + ∠MDE = 90°.
∵∠ACB = 90°,
∴∠ACD = 90° = ∠DME,
∴∠ADC + ∠CAD = 90°,
∴∠CAD = ∠MDE,
∴△ACD≌△DME(AAS),
∴CD = ME,AC = DM.
∵AC = BC,
∴DM = BC,
∴CD = BM,
∴BM = ME,
∴BE = $\sqrt{2}$ME = $\sqrt{2}$CD.
(3)CE的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.