《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

活动2 理解二次函数$y=ax^{2}$与$y=ax^{2}+k$的图象之间的位置关系
操作尝试
在活动1所画图形的基础上,再画出函数$y=2x^{2}$的图象.
观察画出的图象,填写下表:

引发思考
(1)抛物线$y=2x^{2}+1,y=2x^{2}-1$与抛物线$y=2x^{2}$有什么关系?
(2)抛物线$y=ax^{2}+k$与抛物线$y=ax^{2}$有什么关系?

答案： 操作尝试
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
对于$y = 2x^{2}$，其中$b = 0$，$c = 0$，对称轴$x=-\frac{0}{2×2}=0$（即$y$轴），顶点坐标$(0,\frac{4×2×0 - 0^{2}}{4×2})=(0,0)$。
对于$y = 2x^{2}+1$，其中$b = 0$，$c = 1$，对称轴$x = -\frac{0}{2×2}=0$（即$y$轴），顶点坐标$(0,\frac{4×2×1 - 0^{2}}{4×2})=(0,1)$。
对于$y = 2x^{2}-1$，其中$b = 0$，$c=-1$，对称轴$x = -\frac{0}{2×2}=0$（即$y$轴），顶点坐标$(0,\frac{4×2×(-1)-0^{2}}{4×2})=(0, - 1)$。
故表格依次填：$y$轴，$(0,0)$；$y$轴，$(0,1)$；$y$轴，$(0,-1)$。
引发思考
(1)
抛物线$y = 2x^{2}+1$是由抛物线$y = 2x^{2}$向上平移$1$个单位得到；抛物线$y = 2x^{2}-1$是由抛物线$y = 2x^{2}$向下平移$1$个单位得到。它们的形状相同（$a$值相同），对称轴相同（都为$y$轴），顶点的横坐标相同，纵坐标相差$\vert k\vert$（这里$k = 1$或$k=-1$）。
(2)
抛物线$y = ax^{2}+k$与抛物线$y = ax^{2}$的形状相同（$a$值相同），对称轴相同（都为$y$轴）。当$k\gt0$时，抛物线$y = ax^{2}+k$是由抛物线$y = ax^{2}$向上平移$k$个单位得到；当$k\lt0$时，抛物线$y = ax^{2}+k$是由抛物线$y = ax^{2}$向下平移$\vert k\vert$个单位得到。它们顶点的横坐标相同，纵坐标相差$\vert k\vert$。
综上，答案依次为：操作尝试：$y$轴，$(0,0)$；$y$轴，$(0,1)$；$y$轴，$(0,-1)$；引发思考
(1)：形状相同，对称轴相同，$y = 2x^{2}+1$是$y = 2x^{2}$向上平移$1$个单位所得，$y = 2x^{2}-1$是$y = 2x^{2}$向下平移$1$个单位所得；
(2)：形状相同，对称轴相同，$y = ax^{2}+k$是由$y = ax^{2}$上下平移$\vert k\vert$个单位得到 。

抛物线$y=ax^{2}+k$与抛物线$y=ax^{2}$开口方向相同,形状相同,位置不同.抛物线$y=ax^{2}+k$可以看作是抛物线$y=ax^{2}$向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度得到.

答案： 向上 向下

例2 (教材补充例题)(1)抛物线$y=-3x^{2}+1$可由抛物线$y=-3x^{2}$(D)
A.向左平移3个单位长度得到
B.向左平移1个单位长度得到
C.向下平移1个单位长度得到
D.向上平移1个单位长度得到

答案： 例 2
(1)D 

(2)将抛物线$y=2x^{2}$向下平移4个单位长度,就得到抛物线____.

答案：
(2)$ y = 2x^{2} - 4 $

1. 抛物线$y=x^{2}+1$的对称轴是(C)
A.直线$x=-1$
B.直线$x=1$
C.直线$x=0$
D.直线$y=1$

答案： 1. C

2. 抛物线$y=-x^{2}+3$的顶点坐标是(A)
A.$(0,3)$
B.$(1,3)$
C.$(-1,-3)$
D.$(2,-3)$

答案： 2. A

3. 将抛物线$y=x^{2}$向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为(A)
A.$y=x^{2}+2$
B.$y=x^{2}-2$
C.$y=x^{2}\pm 2$
D.以上均不正确

答案： 3. A

4. 已知抛物线$y=(a-2)x^{2}+a^{2}-2$的最高点的坐标为$(0,2)$,则$a=$-2.

答案： 4. -2