《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

例4 (2024贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量$y$(盒)与销售单价$x$(元)是一次函数关系,下表是$y$与$x$的几组对应值.

(1)求$y$与$x$之间的函数解析式;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为$m$元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求$m$的值.

答案：
(1)$ y = - 2 x + 80 ( 10 \leq x \leq 40 ) $
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3)2

例5 (2024达州)如图22-T-2①,抛物线$y=ax^{2}+bx-3$与$x$轴交于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$,与$y$轴交于点$C$,$D$是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图②,连接$AC$,$DC$,直线$AC$交抛物线的对称轴于点$M$,若$P$是直线$AC$上方抛物线上一点,且$S_{\triangle PMC}=2S_{\triangle DMC}$,求点$P$的坐标.
(3)若$N$是抛物线的对称轴上位于点$D$上方的一个动点,是否存在以点$N$,$A$,$C$为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出满足条件的点$N$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
解：
(1)将$ A ( - 3,0 ) $，$ B ( 1,0 ) $代入$ y = a x ^ { 2 } + b x - 3 $，得$ \left\{ \begin{array} { l } { 9 a - 3 b - 3 = 0 , } \\ { a + b - 3 = 0 , } \end{array} \right. $ 解得$ \left\{ \begin{array} { l } { a = 1 , } \\ { b = 2 , } \end{array} \right. $ 则抛物线的解析式为$ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $．
(2)$ \because y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 = x ^ { 2 } + 2 x + 1 - 4 = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 $， $ \therefore D ( - 1 , - 4 ) $，抛物线的对称轴为直线$ x = - 1 $． 在$ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $中，令$ x = 0 $，则$ y = - 3 $， $ \therefore C ( 0 , - 3 ) $． 过点$ D $作直线$ DG // AC $交$ y $轴于点$ G $，在点$ C $上方取点$ L $，使$ C L = 2 C G $，过点$ L $作直线$ L P // A C $交抛物线于点$ P $，如图，则点$ P $即为所求的点． 由$ A ( - 3,0 ) $，$ C ( 0 , - 3 ) $，易得直线$ AC $的解析式为$ y = - x - 3 $． $ \because D G // A C $，$ D ( - 1 , - 4 ) $， $ \therefore $直线$ DG $的解析式为$ y = - x - 5 $． 在$ y = - x - 5 $中，令$ x = 0 $，则$ y = - 5 $，$ \therefore G ( 0 , - 5 ) $，$ \therefore C G = 5 - 3 = 2 $，$ \therefore C L = 2 C G = 4 $， 则$ L ( 0,1 ) $， $ \therefore $直线$ L P $的解析式为$ y = - x + 1 $． 联立上式和抛物线的解析式，得$ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = - x + 1 $，解得$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = - 4 $． 当$ x = 1 $时，$ y = 0 $； 当$ x = - 4 $时，$ y = 5 $， $ \therefore $点$ P $的坐标为$ ( 1,0 ) $或$ ( - 4,5 ) $．
(3)存在以点$ N $，$ A $，$ C $为顶点的三角形是等腰三角形，点$ N $的坐标为$ ( - 1 , \pm \sqrt { 14 } ) $或$ ( - 1 , - 3 + \sqrt { 17 } ) $或$ ( - 1 , - 1 ) $．