《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

变式 在一块长16m，宽12m的矩形草坪上，要修建如图21-3-4所示的两条同样宽的甬路，并使甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，求甬路的宽。

答案： 1. 设甬路的宽为$x$米：
把两条甬路平移到矩形草坪的边缘，此时草坪剩余部分（阴影部分）是一个新的矩形。
新矩形的长为$(16 - x)$米，宽为$(12 - x)$米。
已知原来矩形草坪的面积$S = 16×12$平方米，甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，则剩余部分面积为$\frac{1}{2}×16×12$平方米。
2. 根据矩形面积公式$S=$长$×$宽，可列方程：
$(16 - x)(12 - x)=\frac{1}{2}×16×12$。
展开方程左边：
根据$(a - b)(c - d)=ac - ad - bc+bd$，则$(16 - x)(12 - x)=16×12-16x - 12x+x^{2}=192-28x + x^{2}$。
原方程变为$x^{2}-28x + 192 = 96$。
移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^{2}-28x+192 - 96 = 0$，即$x^{2}-28x + 96 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-28$，$c = 96$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
$\Delta=(-28)^{2}-4×1×96=784 - 384 = 400$。
则$x=\frac{28\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{28\pm20}{2}$。
求方程的解：
$x_{1}=\frac{28 + 20}{2}=\frac{48}{2}=24$，$x_{2}=\frac{28 - 20}{2}=\frac{8}{2}=4$。
因为$x = 24$时，$16−x=16 - 24=-8$，$12−x=12 - 24=-12$（不符合实际意义，舍去）。
所以甬路的宽是$4$米。

拓展 如图21-3-5，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动。如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？

答案： 解：设经过$x$秒，$\triangle PBQ$的面积等于$8cm^{2}$。
已知点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1cm/s$的速度移动，则$AP = x cm$，那么$PB=(6 - x)cm$；点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2cm/s$的速度移动，则$BQ = 2x cm$。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\triangle PBQ$的面积$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}PB\cdot BQ$。
所以$\frac{1}{2}(6 - x)×2x = 8$，
化简得$(6 - x)x = 8$，
即$6x - x^{2}=8$，
移项化为一元二次方程的一般形式：$x^{2}-6x + 8 = 0$，
分解因式得$(x - 2)(x - 4)=0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
又因为$P$从$A$到$B$所需时间为$6÷1 = 6s$，$Q$从$B$到$C$所需时间为$8÷2 = 4s$，$4\lt6$，所以$x$的取值范围是$0\leqslant x\leqslant4$。
所以$x = 2$或$x = 4$都符合题意。
综上，经过$2$秒或$4$秒，$\triangle PBQ$的面积等于$8cm^{2}$。

1. 如图21-3-6，在一块矩形劳动实践基地上有一横两纵三条等宽的道路，除道路外，剩下的是种植区域。已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植区域的面积为480平方米，则道路的宽为（C）

A. 1米
B. 1.5米
C. 2米
D. 2.5米

答案： 1. C

2. 如图21-3-7，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分的面积为72m²，则原正方形空地的边长为13m。

答案： 2. 13

3. 如图21-3-8，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m²的矩形场地，求矩形场地的长和宽。

答案： 1. 设垂直于墙的一边长为$x$米：
因为篱笆长$58$米，那么平行于墙的一边长为$(58 - 2x)$米。
根据矩形面积公式$S=$长$×$宽，已知面积$S = 200m^{2}$，可列方程$x(58 - 2x)=200$。
2. 化简方程：
展开方程$x(58 - 2x)=200$得$58x-2x^{2}=200$。
移项化为一元二次方程的一般形式$2x^{2}-58x + 200 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-29x + 100 = 0$。
3. 求解一元二次方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-29$，$c = 100$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-29)^{2}-4×1×100=841 - 400=441$。
则$x=\frac{29\pm\sqrt{441}}{2}=\frac{29\pm21}{2}$。
当$x=\frac{29 + 21}{2}$时，$x=\frac{50}{2}=25$；当$x=\frac{29 - 21}{2}$时，$x=\frac{8}{2}=4$。
4. 分情况讨论长和宽：
当$x = 25$时：
平行于墙的一边长$58-2x=58 - 2×25=58 - 50 = 8$（米），此时长为$25$米，宽为$8$米（长与宽的定义可根据实际情况确定，这里以较长边为长）。
当$x = 4$时：
平行于墙的一边长$58-2x=58 - 2×4=58 - 8 = 50$（米），此时长为$50$米，宽为$4$米。
答：矩形场地的长为$25$米、宽为$8$米或长为$50$米、宽为$4$米。