《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

例3（教材补充例题）如图24-2-16，AB为$\odot O$的直径，PQ与$\odot O$相切于点E，$AC\perp PQ$于点C. 求证：AE平分$\angle BAC$.

答案： 证明:连接OE.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE.
∵PQ与⊙O相切于点E,
∴OE⊥PQ.
又AC⊥PQ,
∴OE//AC,
∴∠OEA=∠EAC,
∴∠OAE=∠EAC,即AE平分∠BAC.

例4（教材典题）如图24-2-17，$\triangle ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与$\odot O$相切于点D. 求证：AC是$\odot O$的切线.

答案：
证明:如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.

∵⊙O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE,
∴AC与⊙O相切.

1.（2024山西）如图24-2-18，已知$\triangle ABC$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD. 若$\angle AOD=80^{\circ}$，则$\angle C$的度数为 （D）

A. $30^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $50^{\circ}$

答案： D

2. 如图24-2-19，在$\triangle ABC$中，$AB=5$，$BC=3$，$AC=4$，以点C为圆心的圆与AB相切，则$\odot C$的半径为 （B）
A. 2.3
B. 2.4
C. 2.5
D. 2.6

答案： B

3. 如图24-2-20，直线AB经过$\odot O$上的点C，且$OA=OB$，$CA=CB$. 求证：直线AB是$\odot O$的切线.

答案： 解(证明)：连接$OC$。
因为$OA = OB$，$CA = CB$，
所以$OC$是$\triangle OAB$的中线。
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OC\perp AB$。
又因为$OC$是$\odot O$的半径，且$OC\perp AB$，
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
所以直线$AB$是$\odot O$的切线。

4. 如图24-2-21，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，过点C作$\odot O$的切线与AB的延长线交于点D. 若$\angle A=30^{\circ}$，求证：$AC=CD$.

答案： 证明:连接OC.
∵CD与⊙O相切,
∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°,
∴∠D=30°=∠A,
∴AC=CD.