《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

图22-3-6中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
请按下面提供的方法画图建立坐标系，求出函数解析式并解决问题.
方法一：以水面所在直线为x轴，抛物线的对称轴与水面的交点为原点建立直角坐标系.
方法二：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系.
方法三：以抛物线与水面的左侧交点为原点，水面所在直线为x轴建立直角坐标系.
比较上面的三种方法，你觉得哪种方法更简便？

答案： 1. 方法一：
以水面所在直线为$x$轴，抛物线的对称轴与水面的交点为原点建立直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^{2}+c$，因为拱顶离水面$2m$，所以顶点坐标为$(0,2)$，则$c = 2$，又因为水面宽$4m$，所以抛物线过点$(2,0)$，代入$y=ax^{2}+2$得：
$0 = a×2^{2}+2$，即$4a+2 = 0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，所以抛物线方程为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2$。
当水面下降$1m$，即$y=-1$时，$-1 =-\frac{1}{2}x^{2}+2$，$\frac{1}{2}x^{2}=3$，$x^{2}=6$，$x=\pm\sqrt{6}$，此时水面宽度为$2\sqrt{6}$，水面宽度增加$2\sqrt{6}-4$。
2. 方法二：
以抛物线的顶点为原点，对称轴为$y$轴建立直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^{2}$，因为抛物线过点$(2, - 2)$（水面宽$4m$，拱顶离水面$2m$），代入$y = ax^{2}$得：$-2=a×2^{2}$，解得$a =-\frac{1}{2}$，所以抛物线方程为$y=-\frac{1}{2}x^{2}$。
当水面下降$1m$，即$y=-3$时，$-3 =-\frac{1}{2}x^{2}$，$x^{2}=6$，$x = \pm\sqrt{6}$，此时水面宽度为$2\sqrt{6}$，水面宽度增加$2\sqrt{6}-4$。
3. 方法三：
以抛物线与水面的左侧交点为原点，水面所在直线为$x$轴建立直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^{2}+bx$，因为抛物线过点$(0,0)$和$(4,0)$，对称轴为$x = 2$，顶点纵坐标为$2$，根据顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=2$（$c = 0$），把$x = 4,y = 0$代入$y=ax^{2}+bx$得$16a + 4b=0$，由$-\frac{b}{2a}=2$得$b=-4a$，代入$16a + 4b = 0$（恒成立），再把顶点$(2,2)$代入$y=ax^{2}+bx$得$4a+2b = 2$，将$b=-4a$代入$4a+2b = 2$得$4a-8a = 2$，$-4a = 2$，$a=-\frac{1}{2}$，$b = 2$，所以抛物线方程为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$。
当水面下降$1m$，即$y=-1$时，$-1=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，$x^{2}-4x - 2=0$，根据求根公式$x=\frac{4\pm\sqrt{16 + 8}}{2}=2\pm\sqrt{6}$，此时水面宽度为$(2 + \sqrt{6})-(2-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$，水面宽度增加$2\sqrt{6}-4$。
比较三种方法，方法二更简便，因为方法二设出的抛物线方程$y = ax^{2}$形式最简单，计算量相对较小。
所以水面宽度增加$2\sqrt{6}-4$，方法二更简便。