《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

变式 如图23-2-6,已知四边形ABCD,O是AB的中点.画四边形$A'B'C'D'$,使四边形$A'B'C'D'$与四边形ABCD关于点O中心对称.

答案： 1. 首先明确中心对称的性质：
关于点$O$中心对称的点的性质是，点$P(x,y)$关于点$O(a,b)$中心对称的点$P'(x',y')$满足$a = \frac{x + x'}{2}$，$b=\frac{y + y'}{2}$，即$x'=2a - x$，$y'=2b - y$。当$O$是$AB$中点（设$O$为坐标原点$(0,0)$，不影响图形的绘制）时，点$A$与$A'$、$B$与$B'$、$C$与$C'$、$D$与$D'$关于点$O$中心对称，则$OA = OA'$，$OB = OB'$，$OC = OC'$，$OD = OD'$，且$A$、$O$、$A'$共线，$B$、$O$、$B'$共线，$C$、$O$、$C'$共线，$D$、$O$、$D'$共线。
2. 然后进行作图步骤：
步骤一：连接$AO$并延长到$A'$，使$OA'=OA$，则点$A'$是点$A$关于点$O$的对称点。
步骤二：因为$O$是$AB$中点，所以$B$关于$O$的对称点就是$A$（$OA = OB$，延长$BO$到$B'$，使$OB'=OB$，$B'$与$A$重合）。
步骤三：连接$CO$并延长到$C'$，使$OC'=OC$，则点$C'$是点$C$关于点$O$的对称点。
步骤四：连接$DO$并延长到$D'$，使$OD'=OD$，则点$D'$是点$D$关于点$O$的对称点。
步骤五：顺次连接$A'$、$D'$、$C'$、$B'$（$A$），则四边形$A'B'C'D'$（四边形$A'ADC$）就是所求作的四边形。
综上，按照上述步骤可作出四边形$A'B'C'D'$。

例3(教材补充例题)如图23-2-7,$△ABC$和$△DEF$是成中心对称的两个三角形,请找出它们的对称中心.

答案： 解：连接 $AD$、$BE$，设它们的交点为 $O$。
因为$\triangle ABC$和$\triangle DEF$成中心对称，根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
所以点 $O$ 就是$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的对称中心。
综上，连接 $AD$、$BE$，它们的交点就是对称中心。

变式 如图23-2-8,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,M,N均为网格线的交点,$△ABC$与$△DEF$关于某点对称,则其对称中心是(C)
A.点G
B.点H
C.点M
D.点N

答案： 变式 C

学方法
确定对称中心的两种方法
(1)任意连接一对对称点,取对称点所连线段的中点,则该点为对称中心;
(2)任意连接两对对称点,这两条对称点所连线段的交点即对称中心.

答案： [学方法]
(1)中点
(2)交点

1. 下列两个数字成中心对称的是(A)

答案： [课堂检测] 1. A

2. 如图23-2-10,在$10×10$的正方形网格中,$△ABC$的顶点都在格点上.在图中画出$△ABC$关于格点O中心对称的$△A'B'C'.$

答案： 1. 首先明确中心对称的性质：
关于点$O$中心对称的点的性质是，点$P(x,y)$关于点$O$中心对称的点$P'(x',y')$满足$\frac{x + x'}{2}=x_O$，$\frac{y + y'}{2}=y_O$（这里$O$为格点，可通过数方格的方法确定对称点）。
对于点$A$：
设$A$的坐标（通过数方格确定，假设以网格左下角顶点为坐标原点$(0,0)$，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向），$A$的坐标为$(2,7)$，$O$的坐标为$(5,3)$。根据中心对称性质$x_{A'}=2x_O - x_A$，$y_{A'}=2y_O - y_A$。则$x_{A'}=2×5 - 2=8$，$y_{A'}=2×3 - 7=-1$。
对于点$B$：
$B$的坐标为$(0,5)$，则$x_{B'}=2×5 - 0 = 10$，$y_{B'}=2×3 - 5 = 1$。
对于点$C$：
$C$的坐标为$(3,5)$，则$x_{C'}=2×5 - 3 = 7$，$y_{C'}=2×3 - 5 = 1$。
2. 然后画出$\triangle A'B'C'$：
在网格中找到$A'(8, - 1)$，$B'(10,1)$，$C'(7,1)$这三个点（通过数方格确定位置）。
依次连接$A'B'$，$B'C'$，$C'A'$，得到$\triangle A'B'C'$。
（由于是画图题，这里用文字描述画图过程：连接$AO$并延长，使$OA'=AO$；连接$BO$并延长，使$OB' = BO$；连接$CO$并延长，使$OC'=CO$，然后顺次连接$A'$，$B'$，$C'$三点）。

3. 如图23-2-11,在平面直角坐标系中,若$△ABC$与$△A_{1}B_{1}C_{1}$关于点E中心对称,则对称中心点E的坐标是(3，-1).

答案： 3. (3，-1)

4. 如图23-2-12,已知四边形ABCD和点O,试画出四边形ABCD关于点O中心对称的图形$A'B'C'D'.$

答案： 1. 首先，连接$AO$并延长$AO$到$A'$，使$OA' = OA$：
这是根据中心对称的性质，对应点到对称中心的距离相等。
2. 然后，连接$BO$并延长$BO$到$B'$，使$OB' = OB$：
同样依据中心对称的性质，确定点$B$关于点$O$的对称点$B'$。
3. 接着，连接$CO$并延长$CO$到$C'$，使$OC' = OC$：
确定点$C$关于点$O$的对称点$C'$。
4. 再连接$DO$并延长$DO$到$D'$，使$OD' = OD$：
确定点$D$关于点$O$的对称点$D'$。
5. 最后，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$：
所得四边形$A'B'C'D'$就是四边形$ABCD$关于点$O$中心对称的图形。
综上，按照上述步骤画出的四边形$A'B'C'D'$即为所求。