《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

答案： 一半

操作猜想
(1)如图24-1-22①,A,B是⊙O上的两个定点,改变动点C在$\overset{\frown}{ADB}$上的位置,看看圆周角∠ACB的度数有没有变化,你发现了什么?
(2)如果把(1)中发现的结论中的“同弧”改为“等弧”,结论还正确吗?
(3)如图②,半圆所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦具有什么特点?

答案： 解:
(1) 圆周角∠ACB的度数没有发生变化.
发现: 同弧所对的圆周角相等.
(2) 正确.
(3) 半圆所对的圆周角是90°, 90°的圆周角所对的弦是直径.

推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

答案：
(1) 相等
(2) 直角 直径

例2(教材典题)如图24-1-23,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.

答案： BC=8 cm AD=BD=5$\sqrt{2}$ cm

观察猜想
已知:如图24-1-24,四边形ABCD内接于⊙O,则∠BAD与∠BCD,∠ABC与∠ADC之间有什么数量关系?证明你的结论.

答案： 解：$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$，$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。
证明：连接$OB$，$OD$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
$\angle BAD$所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$，其圆心角为$\angle BOD$，则$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD$。
$\angle BCD$所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$，其圆心角为$\angle BOD$的对顶角（设为$\angle BOD'$，$\angle BOD = \angle BOD'$），则$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD'$。
所以$\angle BAD + \angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD+\frac{1}{2}\angle BOD'=\frac{1}{2}(\angle BOD + \angle BOD')$。
因为$\angle BOD + \angle BOD' = 360^{\circ}$（周角为$360^{\circ}$），所以$\angle BAD + \angle BCD=\frac{1}{2}×360^{\circ}=180^{\circ}$。
同理可证$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。
综上，$\angle BAD$与$\angle BCD$互补，$\angle ABC$与$\angle ADC$互补。