《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

例2 (教材补充例题)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx+2m-2=0(m$为常数).
(1)若方程的一个根为0，求$m$的值和方程的另一个根；
(2)求证：无论$m$为何值，该方程总有两个不等的实数根.

答案： 例2
(1)$m=1$ 方程的另一个根是2
(2)证明:$\Delta =b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(2m-2)=4m^{2}-8m+8=4(m-1)^{2}+4$.
∵无论m为何值,都有$4(m-1)^{2}≥0$,
$\therefore 4(m-1)^{2}+4＞0$,即$\Delta ＞0$,
∴无论m为何值,该方程总有两个不等的实数根.

例3 (教材补充例题)已知$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-3x-5=0$的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
(1)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$； (2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.

答案： 例3
(1)$-\frac{3}{5}$ 
(2)$\frac{29}{4}$

学 方法
一元二次方程的根与系数的关系是联系根与系数的桥梁，在具体应用时，要善于将与根有关的代数式转化为含有两根和$x_{1}+x_{2}$与两根积$x_{1}x_{2}$的代数式. 应用根与系数的关系时，注意应先判断$\Delta$的符号.

答案：

1. 设方程$x^{2}-3x+2=0$的两个根分别是$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}$的值为 (A)
A. 3
B. $-\frac {3}{2}$
C. $\frac {3}{2}$
D. -2

答案： A

2. 若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-7x=-4$的两个根，则$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值分别是 (C)
A. $-\frac {7}{2},-2$
B. $-\frac {7}{2},2$
C. $\frac {7}{2},2$
D. $\frac {7}{2},-2$

答案： C

3. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+mx+n=0$的两个根，且$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=2$，则$m,n$的值分别是 (A)
A. -3,2
B. 3,2
C. 3,-2
D. -2,3

答案： A

4. 已知$m,n$是方程$2x^{2}-4x-3=0$的两个实数根，则$m^{2}n+mn^{2}=$-3.

答案： -3

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个不等的实数根$x_{1},x_{2}$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$x_{1}=-1$时，求另一个根$x_{2}$的值.

答案：
(1)$m＜3$
(2)$x_{2}=3$