《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？
引发思考
(1)根据问题的实际意义，变化率能大于1或小于0吗？
(2)经过上面的计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

答案： 求甲、乙两种药品成本的年平均下降率
设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，根据两年前成本$×(1 - $年平均下降率$)^{2} =$现在成本，可列方程：
$5000(1 - x)^{2}=3000$
$(1 - x)^{2}=\frac{3000}{5000}=\frac{3}{5}$
$1 - x=\pm\sqrt{\frac{3}{5}}$
$x = 1\pm\sqrt{\frac{3}{5}}$
因为下降率$0\lt x\lt1$，所以$x = 1-\sqrt{\frac{3}{5}}\approx1 - 0.775 = 0.225=22.5\%$。
设乙种药品成本的年平均下降率为$y$，同理可列方程：
$6000(1 - y)^{2}=3600$
$(1 - y)^{2}=\frac{3600}{6000}=\frac{3}{5}$
$1 - y=\pm\sqrt{\frac{3}{5}}$
$y = 1\pm\sqrt{\frac{3}{5}}$
因为下降率$0\lt y\lt1$，所以$y = 1-\sqrt{\frac{3}{5}}\approx1 - 0.775 = 0.225 = 22.5\%$。
所以甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大。
引发思考
(1) 变化率不能大于$1$（大于$1$意味着成本变为负数等不符合实际情况），也不能小于$0$（小于$0$意味着成本上升，与下降率矛盾）。
(2) 结论：成本下降额大的药品，它的成本下降率不一定大。比较几个对象的变化状况，不仅要看变化额，还要看变化率（即相对变化量），变化率是综合考虑了初始值和变化量的相对变化情况，能更全面地反映变化状况。

例1(教材补充例题)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动。四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同。
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元。

答案：
(1)10%
(2)26.62 万元

得模型
用一元二次方程解决平均变化率问题
设基数为a，平均增长率(降低率)为x。
(1)若两次增长(降低)后变为数A，则可列方程：$a(1\pm x)^{2}=A$；
(2)若两次增长(降低)后的累计总数为M，则可列方程：$a+a(1\pm x)+a(1\pm x)^{2}=M$。

答案：
(1)$a(1\pm x)^{2}=A$
(2)$a+a(1\pm x)+a(1\pm x)^{2}=M$