《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.那么如何确定二次函数的解析式呢?
引发思考
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数? 这几个点应满足什么条件?
(2)如果一个二次函数的图象经过$(-1,10),(1,4),(2,7)$三点，能求出这个二次函数的解析式吗? 如果能，求出这个二次函数的解析式.

答案： 解：
(1)由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与 y 轴平行)的坐标,可以确定二次函数.
(2)能求出这个二次函数的解析式.
设所求二次函数为 $ y = ax^{2} + bx + c $.
由已知,函数图象经过 $ (-1,10),(1,4),(2,7) $ 三点,得关于 $ a,b,c $ 的三元一次方程组
$\begin{cases}a - b + c = 10, \\a + b + c = 4, \\4a + 2b + c = 7.\end{cases}$
解这个方程组,得 $ a = 2,b = -3,c = 5 $.
所求二次函数是 $ y = 2x^{2} - 3x + 5 $.

求二次函数的解析式$y=ax^{2}+bx+c$，需求出$a$，$b$，$c$的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于$a$，$b$，$c$的方程组，求出$a$，$b$，$c$的值，就可以写出二次函数的解析式.

答案： 本题主要考查二次函数解析式的求解方法。
步骤一：明确二次函数解析式的一般形式
二次函数的一般式为$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其中$a$、$b$、$c$是常数。
步骤二：分析求解$a$、$b$、$c$的方法
已知二次函数图象上三个点的坐标$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，将这三个点的坐标分别代入二次函数解析式$y = ax^{2}+bx + c$中，可得到以下方程组：
$\begin{cases}y_1 = ax_1^{2}+bx_1 + c\\y_2 = ax_2^{2}+bx_2 + c\\y_3 = ax_3^{2}+bx_3 + c\end{cases}$
通过解这个方程组，就可以求出$a$、$b$、$c$的值。
步骤三：写出二次函数解析式
将求出的$a$、$b$、$c$的值代入二次函数的一般式$y = ax^{2}+bx + c$中，就可以得到二次函数的解析式。
综上，通过已知条件列出关于$a$、$b$、$c$的方程组，求解方程组得到$a$、$b$、$c$的值，进而写出二次函数解析式。

例1 (教材补充例题)一个二次函数，当自变量$x=0$时，函数值$y=-1$；当$x=-2$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=6$.求这个二次函数的解析式.

答案： $ y = x^{2} + \frac{3}{2}x - 1 $