《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

7. （2024·湖北改编）如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(3,4)$，将$OA$绕坐标原点$O$旋转$90^{\circ}$到$OA'$，则点$A'$的坐标是__________.

答案： (-4, 3)或(4, -3)

8. 在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，以原点为中心，将点$A$顺时针旋转$30^{\circ}$得到点$A'$，则点$A'$的坐标为（ ）

A. $(\sqrt{3},1)$
B. $(\sqrt{3},-1)$
C. $(2,1)$
D. $(0,2)$

答案： A

9. 若点$P(m - 1,5)$与点$Q(3,2 - n)$关于原点成中心对称，则$m + n$的值是（ ）
A. $1$
B. $3$
C. $5$
D. $7$

答案： C

10. （2023·枣庄）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形. 如图，这是一片银杏叶标本，叶片上两点$B$，$C$的坐标分别为$(-3,2)$，$(4,3)$，将银杏叶绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$后，叶柄上点$A$对应点的坐标为__________.

答案： (-3, 1)

11. 【新定义问题】（2024·泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移$a(a＞0)$个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转$\theta$角度，这样的图形运动叫作图形的$\rho(a,\theta)$变换. 如：点$A(2,0)$按照$\rho(1,90^{\circ})$变换后得到点$A'$的坐标为$(-1,2)$，则点$B(\sqrt{3},-1)$按照$\rho(2,105^{\circ})$变换后得到点$B'$的坐标为__________.

答案： $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

12. 如图，在平面直角坐标系中，$Rt\triangle ABC$的三个顶点分别是$A(-3,2)$，$B(0,4)$，$C(0,2)$.
（1）将$\triangle ABC$绕点$C$旋转$180^{\circ}$，点$A$的对应点为$A_{1}$，直接在图中画出旋转后的$\triangle A_{1}B_{1}C$；
（2）平移$\triangle ABC$，点$A$的对应点$A_{2}$的坐标为$(1,-2)$，点$B$的对应点为$B_{2}$，直接在图中画出平移后的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
（3）将$\triangle A_{1}B_{1}C$绕某一点旋转可以得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.
①旋转中心的坐标为__________；
②已知点$P$是边$A_{1}B_{1}$上一动点，旋转后点$P$的对应点为$Q$，则$PQ$的最小值为__________.

答案： (2, 0)@@$\frac{8\sqrt{13}}{13}$

13. 如图，在平面直角坐标系中，$OA = OB$，且$\angle AOB = 30^{\circ}$，其中点$B$在$y$轴上，将$\triangle AOB$绕点$O$逆时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle COD$，连接$BD$，$AC$，$BD$与$AC$交于点$E$，与$OC$交于点$F$.
（1）四边形$OAED$的形状是__________；
（2）若点$B$的坐标为$(0,-2)$，则$EF$的长为__________.

答案： 菱形@@$2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$