《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

1. 如图，已知四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，连接 $BD$，$\angle BAD = 105^{\circ}$，$\angle DBC = 75^{\circ}$.
- (1)求证：$BD = CD$；
- (2)若 $\odot O$ 的半径为 $3$，求 $BC$ 的长.
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答案： 解： （1）证明：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠DCB + ∠BAD = 180°。因为∠BAD = 105°，所以∠DCB = 180° - 105° = 75°。因为∠DBC = 75°，所以∠DCB = ∠DBC，所以BD = CD。 （2）连接OB，OC。因为∠DCB = ∠DBC = 75°，所以∠BDC = 30°。由圆周角定理，得∠BOC = 60°。又因为OB = OC，所以△BOC为等边三角形，所以BC = OB = 3。

2. 如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C$，$D$ 是半圆上两点，且 $OD// AC$，$OD$ 与 $BC$ 交于点 $E$.
- (1)求证：$E$ 为 $BC$ 的中点；
- (2)若 $BC = 8$，$DE = 3$，求 $AB$ 的长度.
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答案： 解： （1）证明：因为AB是半圆O的直径，所以∠C = 90°。因为OD//AC，所以∠OEB = ∠C = 90°，所以OD⊥BC，所以BE = CE，所以E为BC的中点。 （2）设圆的半径为x，则OB = OD = x，OE = x - 3，在Rt△BOE中，OB² = BE² + OE²，因为BE = 1/2BC = 4，所以x² = 4² + (x - 3)²，解得x = 25/6，所以AB = 2x = 25/3。

3. (2024·浙江节选)如图，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AD\lt AC$，$\angle ADC\lt\angle BAD$，延长 $AD$ 至点 $E$，延长 $BA$ 至点 $F$，连接 $EF$，使 $\angle AFE=\angle ADC$.
- (1)若 $\angle AFE = 60^{\circ}$，$CD$ 为直径，求 $\angle ABD$ 的度数；
- (2)求证：$EF// BC$.
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答案： 解： （1）因为CD为直径，所以∠CAD = 90°。因为∠AFE = ∠ADC = 60°，所以∠ACD = 90° - 60° = 30°，所以∠ABD = ∠ACD = 30°。 （2）证明：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ABC + ∠ADC = 180°。又因为∠AFE = ∠ADC，所以∠ABC + ∠AFE = 180°，所以EF//BC。

4. (2017·安徽)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD = BC$，$\angle B=\angle D$，$AD$ 不平行于 $BC$，过点 $C$ 作 $CE// AD$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\odot O$ 于点 $E$，连接 $AE$.
- (1)求证：四边形 $AECD$ 为平行四边形；
- (2)连接 $CO$，求证：$CO$ 平分 $\angle BCE$.
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答案： 证明： （1）因为∠B = ∠E，∠B = ∠D，所以∠E = ∠D。因为CE//AD，所以∠D + ∠ECD = 180°，所以∠E + ∠ECD = 180°，所以AE//CD，所以四边形AECD为平行四边形。 （2）过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，因为四边形AECD为平行四边形，所以AD = CE。又因为AD = BC，所以CE = CB，所以OM = ON。又因为OM⊥BC，ON⊥CE，所以CO平分∠BCE。