《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

10.（2024·山西）如图，已知$\triangle ABC$，以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$，与$AC$相切于点$A$，连接$OD$. 若$\angle AOD = 80^{\circ}$，则$\angle C$的度数为（ ）

A. $30^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $50^{\circ}$

答案： D

11.（2018·安徽）如图，菱形$ABOC$的边$AB$，$AC$分别与$\odot O$相切于点$D$，$E$. 若点$D$是$AB$的中点，则$\angle DOE =$_______.

答案： 60°

12.（2024·蚌埠二模）如图，$\odot O$与$AB$相切于点$B$，连接$AO$交$\odot O$于点$E$，过点$B$作$BF// OA$交$\odot O$于点$F$，连接$EF$. 若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle OEF$的度数为_______.

答案： 25°

13.（2020·安徽）如图，$AB$是半圆$O$的直径，$C$，$D$是半圆$O$上不同于$A$，$B$的两点，$AD = BC$，$AC$与$BD$相交于点$F$，$BE$是半圆$O$所在圆的切线，与$AC$的延长线相交于点$E$.
（1）求证：$\triangle CBA\cong\triangle DAB$；
（2）若$BE = BF$，求证：$AC$平分$\angle DAB$.

答案： 证明：
(1)
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90°. 在Rt△CBA和Rt△DAB中，$\begin{cases}BA = AB\\BC = AD\end{cases}$，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).
(2)
∵BE = BF，
∴∠E = ∠BFE = ∠AFD.
∵BE是切线，
∴∠ABE = ∠ADB = 90°.
∴∠E + ∠BAE = 90°，∠DAF + ∠AFD = 90°.
∴∠DAF = ∠BAF.
∴AC平分∠DAB.

14.（2024·合肥蜀山区模拟）如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，对角线$AC$为$\odot O$的直径，延长$BC$交过点$D$的切线于点$E$.
（1）求证：$DE\perp BE$；
（2）若$\odot O$的半径为$5$，$\tan\angle DAC=\frac{3}{4}$，求$DE$的长.

答案： 解：
(1)证明：连接DO并延长交AB于点F，连接OB.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴DA = DB，∠AOD = ∠BOD.
∵OA = OD = OB，
∴∠OAD = ∠ODA = ∠ODB = ∠OBD.
∴DF⊥AB.
∵DE是⊙O的切线，
∴DF⊥DE.
∴DE//AB.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC = 90°.
∴BE⊥AB.
∴DE⊥BE.
(2)
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC = 90°.
∵tan∠DAC = $\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴设CD = 3k，AD = 4k，则AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$ = 5k = 10，
∴k = 2.
∴AD = 8，CD = 6.
∵∠ODE = 90°，
∴∠CDE + ∠ODC = ∠ADO + ∠ODC = 90°.
∴∠CDE = ∠ADO.
∵∠OAD = ∠ADO.
∴∠OAD = ∠CDE.
∵∠ADC = ∠E = 90°，
∴△ADC∽△DEC.
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{DC}$，即$\frac{8}{DE}=\frac{10}{6}$.
∴DE = $\frac{24}{5}$.

15.（2024·凉山州）如图，$\odot M$的圆心为$M(4,0)$，半径为$2$，$P$是直线$y = x + 4$上的一个动点，过点$P$作$\odot M$的切线，切点为$Q$，则$PQ$的最小值为_______.

答案： $2\sqrt{7}$