《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

三、解答题（共46分）
13.（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD = 45°.
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB = 30°，BC = 3，求⊙O的半径.

14.（11分）如图所示，在正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A₁，在网格中画出平移后得到的△A₁B₁C₁；
（2）把△A₁B₁C₁绕点A₁按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A₁B₂C₂；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）（2）变换的路径总长.

15.（12分）如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC = AB，∠A = 30°.
（1）求证：AB是⊙O的切线；

16.（13分）如图，AB是⊙O的直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，点P在半圆弧AB上运动（不与点A，B重合），过点C作CP的垂线CD，交PB的延长线于点D. 已知AB = 5，BC∶CA = 4∶3.
（1）求证：AC·CD = PC·BC；
（2）当点P运动到$\overset{\frown}{AB}$的中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.

答案： 解：
(1) 因为$\angle BCD = 45^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle BCD = 45^{\circ}$。因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD = 45^{\circ}$。
(2) 连接$AC$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。因为$\angle CAB=\angle CDB = 30^{\circ}$，$BC = 3$，所以$AB = 6$，所以$\odot O$的半径为3。@@解：
(1) 图略。
(2) 图略。
(3) 点$B$到$B_1$的路径长是$\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，点$B_1$到$B_2$的路径长是$\frac{90\pi\times\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。则路径总长是$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。@@解：
(1) 证明：连接$OB$，因为$BC = AB$，$\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle C=\angle A = 30^{\circ}$。又因为$OC = OB$，所以$\angle CBO=\angle C = 30^{\circ}$，所以$\angle AOB=\angle CBO+\angle C = 60^{\circ}$。在$\triangle ABO$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$\angle ABO = 90^{\circ}$，即$AB\perp OB$。又因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$AB$为$\odot O$的切线。
(2) 因为$OB = 2$，$\angle BOD = 60^{\circ}$，所以$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{60\pi\times2}{180}=\frac{2}{3}\pi$。@@解：
(1) 证明：因为$AB$为直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。因为$PC\perp CD$，所以$\angle PCD = 90^{\circ}$，所以$\angle PCD=\angle ACB$。因为$\angle A=\angle P$，所以$\triangle ABC\sim\triangle PDC$，所以$\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{CD}$，所以$AC\cdot CD = PC\cdot BC$。
(2) 因为$AB = 5$，$BC:CA = 4:3$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$BC = 4$，$AC = 3$。当点$P$运动到$\overset{\frown}{AB}$的中点时，过点$B$作$BE\perp PC$于点$E$，因为点$P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\angle PCB = 45^{\circ}$，且$BC = 4$，所以$CE = BE=\frac{\sqrt{2}}{2}BC = 2\sqrt{2}$。因为$\angle CAB=\angle CPB$，所以$\tan A=\tan P=\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{PE}=\frac{4}{3}$，所以$PE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$PC = PE + CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。因为$AC\cdot CD = PC\cdot BC$，所以$3CD=\frac{7\sqrt{2}}{2}\times4$，所以$CD=\frac{14\sqrt{2}}{3}$。
(3) $\frac{50}{3}$。

15.（12分）如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC = AB，∠A = 30°.
（1）求证：AB是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为2,求BD的长.

答案： 解：
(1) 证明：连接$OB$，因为$BC = AB$，$\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle C=\angle A = 30^{\circ}$。又因为$OC = OB$，所以$\angle CBO=\angle C = 30^{\circ}$，所以$\angle AOB=\angle CBO+\angle C = 60^{\circ}$。在$\triangle ABO$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$\angle ABO = 90^{\circ}$，即$AB\perp OB$。又因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$AB$为$\odot O$的切线。
(2) 因为$OB = 2$，$\angle BOD = 60^{\circ}$，所以$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{60\pi\times2}{180}=\frac{2}{3}\pi$。