《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

11. 如图，在⊙O 中，$\overset{\frown}{AB}$ = 2$\overset{\frown}{CD}$，试判断 AB 与 2CD 的大小关系，并说明理由.
解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等，
∴当$\overset{\frown}{AB}$ = 2$\overset{\frown}{CD}$时，AB = 2CD.
以上解答是否正确？若不正确，请改正.

答案： 解：不正确. AB＜2CD. 理由：取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE，BE，
∵$\overset{\frown}{AB}$ = 2$\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AE}$ = $\overset{\frown}{BE}$ = $\overset{\frown}{CD}$.
∴AE = BE = CD.
∴AE + BE = 2CD.
∵AE + BE＞AB，
∴AB＜2CD.

12.（教材 P26 习题 T12 变式）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 26°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆分别交 AB，AC 于点 D，E，则$\overset{\frown}{BD}$的度数为 （ ）

第 12 题图 第 13 题图
A. 26°
B. 64°
C. 52°
D. 128°

答案： C

13. 如图，在⊙O 中，已知弦 AB = DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为 C，F，则下列说法：①∠DOE = ∠AOB；②$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{DE}$；③OF = OC；④AC = EF. 其中正确的个数为 （ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

14. 如图，AB，AC 是⊙O 的两条弦，且 $\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AC}$.
（1）求证：AO 平分∠BAC；
（2）若 AB = 4$\sqrt{5}$，BC = 8，求半径 OA 的长.

答案： 解：
(1)证明：连接OB，OC.
∵$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AC}$，
∴AB = AC. 又
∵OC = OB，OA = OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAO = ∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
(2)延长AO交BC于点E.
∵AB = AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE = $\frac{1}{2}$BC = 4. 在Rt△ABE中，AE = $\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$ = $\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-4^{2}}$ = 8. 设OA = x，则OE = 8 - x. 由勾股定理，得OB² = OE² + BE²，
∴x² = (8 - x)² + 4². 解得x = 5.
∴半径OA的长为5.

15.（教材 P19 例 5 变式）如图 1，PC 是⊙O 的直径，PA 与 PB 是弦，且∠APC = ∠BPC.
（1）求证：PA = PB；
（2）如果点 P 由圆上运动到圆外，PC 过圆心，如图 2，是否仍有 PA = PB？为什么？
（3）如图 3，如果点 P 由圆上运动到圆内，那么 PA = PB是否仍然成立？不用说明理由.

图 1 图 2 图 3

答案： 解：
(1)证明：过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F.
∵∠APC = ∠BPC，
∴OE = OF.
∴PA = PB.
(2)仍有PA = PB. 理由如下：过点O作OG⊥PA，OH⊥PB，垂足分别为G，H，
∵∠APC = ∠BPC，
∴OG = OH. 又
∵OP = OP，
∴Rt△OPG≌Rt△OPH(HL).
∴PG = PH.
∵OG⊥AM，OH⊥BN，OG = OH，
∴AM = BN.
∴AG = BH.
∴PG + AG = PH + BH，即PA = PB.
(3)PA = PB仍然成立.