《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

1. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，AB = AC = $\sqrt{30}$，⊙O 的半径为 3，求 BC 的长.

答案： 解：连接AO，CO，延长AO交BC于点D. 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以AD⊥BC. 设OD = x，OA = OC = 3. 因为$AC^{2}-AD^{2}=CD^{2}=OC^{2}-OD^{2}$，所以$(\sqrt{30})^{2}-(x + 3)^{2}=3^{2}-x^{2}$，解得x = 2. 所以$CD=\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5}$. 所以$BC = 2\sqrt{5}$.

2. 如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，DE⊥AB 于点 E，AC 交 DE 于点 F.
（1）求证：∠DAF = ∠ADF；
（2）若 CD = 2$\sqrt{5}$，半圆 O 的半径为 5，求 BC 的长.

答案： 解：
(1) 证明：连接BD. 因为D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$. 所以∠DAC = ∠ABD. 因为AB为半圆O的直径，DE⊥AB，所以∠DEA = ∠ADB = $90^{\circ}$. 所以∠ADF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ABD = $90^{\circ}$. 所以∠ADF = ∠ABD. 所以∠DAF = ∠ADF.
(2) 连接OD交AC于点H. 因为$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}$，所以OD⊥AC，AD = CD = $2\sqrt{5}$. 在Rt△AOH中，$AH^{2}=OA^{2}-OH^{2}$，在Rt△ADH中，$AH^{2}=AD^{2}-DH^{2}$，所以$OA^{2}-OH^{2}=AD^{2}-DH^{2}$. 即$5^{2}-OH^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5 - OH)^{2}$. 解得OH = 3. 因为OD⊥AC，所以AH = CH. 因为AO = BO，所以$OH=\frac{1}{2}BC$. 所以BC = 2OH = 6.

1. 如图，AB 是⊙O 的直径. 若 AB = 2AC，D 是$\overset{\frown}{BC}$的中点，则∠CAD 的度数为 （ ）

A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°

答案： B

2. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，AB = 6，则 BD = ______.

答案： $3\sqrt{2}$

3. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠1 = ∠2，延长 BC 到点 E，使得 CE = AB，连接 ED.
（1）求证：BD = ED；
（2）若 AB = 4，BC = 6，∠ABC = 60°，求 tan∠DCB 的值.

答案： 解：
(1) 证明：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠A = ∠DCE. 因为∠1 = ∠2，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$. 所以AD = DC. 在△ABD和△CED中，$\begin{cases}AB = CE,\\\angle A = \angle DCE,\\AD = DC,\end{cases}$所以△ABD≌△CED(SAS). 所以BD = ED.
(2) 过点D作DM⊥BE于点M. 因为AB = 4，BC = 6，CE = AB，所以BE = BC + EC = 10. 因为BD = ED，DM⊥BE，所以$BM = ME=\frac{1}{2}BE = 5$. 所以CM = BC - BM = 1. 因为∠ABC = $60^{\circ}$，∠1 = ∠2，所以∠2 = $30^{\circ}$. 所以$DM = BM\cdot\tan\angle2 = 5\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. 所以$\tan\angle DCB=\frac{DM}{CM}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{1}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$.