《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

11. 如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），点M，N分别是BP，AB的中点. 若AB = 4，∠APB = 30°，则MN的长的最大值为______.

答案： 4

12. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，与AB交于点G，过点A作AE⊥CD于点E，AE与⊙O交于点F，连接AD，CF. 若AG = CF，则∠D的度数为_________.

答案： 67.5°

13.（8分）尺规作图：如图，已知直线a和直线外的两点A，B，经过点A，B作一圆，使它的圆心在直线a上.（不写作法，保留作图痕迹）

答案： 解：图略。

14.（8分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB相交于点E，且∠ABC = 2∠E. 求证：DA = DE.

答案： 证明：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A = ∠BCE。因为∠ABC = 2∠E，所以∠BCE = ∠E。所以∠A = ∠E。所以DA = DE。

15.（10分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD = 120°，CA平分∠BCD.
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD = 3，求⊙O的半径.

答案： 解：
(1) 证明：因为∠BCD = 120°，CA平分∠BCD，所以∠ACD = ∠ACB = 60°。所以∠ADB = ∠ACB = 60°，∠ABD = ∠ACD = 60°。所以△ABD是等边三角形。
(2) 连接OB，OD，过点O作OH⊥BD于点H，则DH = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{3}{2}$，∠BOD = 2∠BAD = 120°，所以∠DOH = 60°。在Rt△ODH中，OD = $\frac{DH}{\sin\angle DOH}$ = $\sqrt{3}$。所以⊙O的半径为$\sqrt{3}$。

16.（14分）如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC = 2∠BCE.
（1）如图1，若BE = 1，CE = $\sqrt{5}$，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD = 2OE，求证：BD//OC.

答案： 解：
(1) 过点O作OH⊥BC于点H。因为OC = OB，OH⊥BC，所以∠COH = ∠BOH，CH = BH。因为∠BOC = 2∠BCE，所以∠BOH = ∠BCE。因为∠BOH + ∠OBH = 90°，所以∠BCE + ∠OBH = 90°。所以∠CEB = 90°。所以BC = $\sqrt{EC^{2}+EB^{2}}$ = $\sqrt{5 + 1}$ = $\sqrt{6}$。所以CH = BH = $\frac{\sqrt{6}}{2}$。因为cos∠OBH = $\frac{BH}{OB}$ = $\frac{EB}{BC}$，所以$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{OB}$ = $\frac{1}{\sqrt{6}}$。所以OB = 3。所以⊙O的半径为3。
(2) 过点O作OK⊥BD于点K，则BK = DK。因为BD = 2OE，所以OE = BK。又因为OC = BO，所以Rt△OEC ≌ Rt△BKO（HL）。所以∠COE = ∠OBK。所以OC//BD。