《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

8. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$A$，$B$是切点. 若$\angle P = 70^{\circ}$，则$\angle ABO=$（ ）

A. $30^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $55^{\circ}$

答案： B

9. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，以$BC$上一点$O$为圆心作$\odot O$与$AC$，$AB$都相切，$\odot O$与$BC$的另一个交点为$D$，则线段$BD$的长为（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

答案： B

10.（2023·泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角板按如图所示的方式放置于桌面上，并量出$AB = 4\ cm$，则这张光盘的半径是__________ .（结果精确到$0.1\ cm$. 参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$）

答案： 6.9 cm

11. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$A$，$B$为切点，点$C$，$D$在$\odot O$上. 若$\angle P = 100^{\circ}$，则$\angle A+\angle C=$_______.

答案： 220°

12. 如图，$PA$，$PB$，$CD$是$\odot O$的切线，切点分别为点$A$，$B$，$E$. 若$\triangle PCD$的周长为$18\ cm$，$\angle APB = 60^{\circ}$，求$\odot O$的半径.

答案： 解：连接OA，OP，则OA⊥PA。根据题意，得CA = CE，DE = DB，PA = PB。因为PC + CE + DE + PD = 18 cm，所以PC + CA + DB + PD = PA + PB = 18 cm。所以PA = $\frac{1}{2}$×18 = 9(cm)。因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。所以PO = 2AO。所以OA² + 9² = (2AO)²，解得OA = 3$\sqrt{3}$，即⊙O的半径为3$\sqrt{3}$ cm。

13. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$A$，$B$为切点，$AC$是$\odot O$的直径，$AC$，$PB$的延长线相交于点$D$.
（1）若$\angle 1 = 20^{\circ}$，求$\angle APB$的度数；
（2）当$\angle 1$为多少度时，$OP = OD$？并说明理由.

答案： 解：
(1) 因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠BAP = 90° - ∠1 = 70°，PA = PB。所以∠BAP = ∠ABP = 70°。所以∠APB = 180° - 70°×2 = 40°。
(2) 当∠1 = 30°时，OP = OD。理由：因为∠1 = 30°，由
(1)知∠BAP = ∠ABP = 60°。所以∠APB = 180° - 60°×2 = 60°。因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠OPB = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。又因为∠D = ∠ABP - ∠1 = 60° - 30° = 30°，所以∠OPB = ∠D。所以OP = OD。

14. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，以$AC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$，过点$D$作$\odot O$的切线，与边$BC$交于点$E$. 若$AD=\frac{9}{5}$，$AC = 3$，则$DE$的长为（ ）

A. $\frac{3}{2}$
B. 2
C. $\frac{5}{2}$
D. $\sqrt{5}$

答案： B