《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

5. (2023·安徽)已知四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，对角线 $BD$ 是 $\odot O$ 的直径.
- (1)如图 1，连接 $OA$，$CA$，若 $OA\perp BD$，求证：$CA$ 平分 $\angle BCD$；
- (2)如图 2，$E$ 为 $\odot O$ 内一点，满足 $AE\perp BC$，$CE\perp AB$. 若 $BD = 3\sqrt{3}$，$AE = 3$，求弦 $BC$ 的长.
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答案： 解： （1）证明：因为OA⊥BD，所以弧AB = 弧AD，所以∠ACB = ∠ACD，所以CA平分∠BCD。 （2）延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N。因为AE⊥BC，CE⊥AB，所以∠AMB = ∠CNB = 90°。因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD = ∠BCD = 90°，所以∠BAD = ∠CNB，∠BCD = ∠AMB，所以AD//NC，CD//AM，所以四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD = 3，所以BC = √(BD² - CD²) = √((3√3)² - 3²) = 3√2。

6. (2024·安徽)如图，$\odot O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆，$D$ 是直径 $AB$ 上一点，$\angle ACD$ 的平分线交 $AB$ 于点 $E$，交 $\odot O$ 于另一点 $F$，$FA = FE$.
- (1)求证：$CD\perp AB$；
- (2)设 $FM\perp AB$，垂足为 $M$，若 $OM = OE = 1$，求 $AC$ 的长.
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答案： 解： （1）证明：因为FA = FE，所以∠FAE = ∠AEF。因为∠FAE与∠BCE都是弧BF所对的圆周角，所以∠FAE = ∠BCE。因为∠AEF = ∠CEB，所以∠CEB = ∠BCE。因为CE平分∠ACD，所以∠ACE = ∠DCE。因为AB是直径，所以∠ACB = 90°，所以∠CEB + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE = ∠ACB = 90°，所以∠CDE = 90°，所以CD⊥AB。 （2）由（1）知，∠BEC = ∠BCE，所以BE = BC。因为AF = EF，FM⊥AB，所以MA = ME = 2，AE = 4，所以圆的半径OA = OB = AE - OE = 3，所以BC = BE = OB - OE = 2。在△ABC中，AB = 6，BC = 2，∠ACB = 90°，所以AC = √(AB² - BC²) = √(6² - 2²) = 4√2。